曲面及其方程 ppt

9.3曲面及其方程,定义1.,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,两个基本问题:,已知动点按照某种规律运动,求运动,(2)坐标满足方程的点都在曲面S上,轨迹所产生的曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何图形,(必要时需作图).,机动目录上页下页返回结束,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为R的轨迹,表示上(下)球面.,机动目录上页下页返回结束,一、球面及其方程,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,机动目录上页下页返回结束,二、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在xoy面上，,表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束,定义2.,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于z轴;,准线为xoy面上的抛物线.,z轴的椭圆柱面.,z轴的平面.,表示母线平行于,(且z轴在平面上),表示母线平行于,C叫做准线,l叫做母线.,机动目录上页下页返回结束,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,准线xoz面上的曲线l3.,母线,柱面,准线xoy面上的曲线l1.,母线,准线yoz面上的曲线l2.,母线,机动目录上页下页返回结束,定义3.一条平面曲线,三、旋转面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转面.,该定直线称为旋转,轴，曲线成为旋转面的母线,例如:,机动目录上页下页返回结束,建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,若点,给定yoz面上曲线C:,则有,则有,该点转到,机动目录上页下页返回结束,思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？,机动目录上页下页返回结束,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L的方程为,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动目录上页下页返回结束,例4.求坐标面xoz上的双曲线,分别绕x,轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕x轴旋转,绕z轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动目录上页下页返回结束,总结,(1)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为,(2)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为,(3)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为,四、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线C.,机动目录上页下页返回结束,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动目录上页下页返回结束,空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面,则C在xoy面上的投影曲线C为,消去x得C在yoz面上的投影曲线方程,消去y得C在zox面上的投影曲线方程,机动目录上页下页返回结束,例如,在xoy面上的投影曲线方程为,机动目录上页下页返回结束,又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在xoy面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy面上的投影曲线所围之域.,机动目录上页下页返回结束,9.4二次曲面,二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为0),机动目录上页下页返回结束,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动目录上页下页返回结束,与,的交线为椭圆：,(4)当ab时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc时为球面.,(3)截痕:,机动目录上页下页返回结束,2.椭圆锥面(二次锥面),椭圆,在平面x0或y0上的截痕为过原点的两直线.,机动目录上页下页返回结束,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x轴；,虚轴平行于z轴）,平面,上的截痕情况:,机动目录上页下页返回结束,双曲线:,虚轴平行于x轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z轴;,机动目录上页下页返回结束,相交直线:,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18目录上页下页返回结束,图形,4.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.,(p,q同号),机动目录上页下页返回结束,总结.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动目录上页下页返回结束,5.化简二次方程判断曲面类型