江苏高考数学专题之“隐形圆”问题 (pdf版)

“隐形圆”问题 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息， 而是隐藏在题目中的， 要通过分析和转化， 发现圆 （或圆的方程） ， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例例 1（1）如果圆(x2a)2(ya3)24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是_ 6 0 5 a 略解： 到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆， 转化到此单位圆与已知 圆相交求解 （2）（2016 年南京二模）已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(ya4)21若圆 M 上 存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60 ，则 a 的取值范 围为_ 解： 由题意得2OP ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 22 22 21211(4)922 22 OMaaa （3）（2017 年苏北四市一模）已知AB、是圆 22 1: 1Cxy上的动点，= 3AB，P是圆 22 2:( 3(4)1Cxy）上的动点，则PAPB的取值范围是 7,13 略解：取 AB 的中点 M，则 C1M= 1 2 ，所以 M 在以 C1圆心，半径为 1 2 的圆上，且 2PAPBPM，转化为两圆上动点的距离的最值 （4）若对任意R，直线 l：xcosysin2sin( 6 )4 与圆 C：(xm)2(y3m)2 1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 15 (,) 22 略解：直线 l 的方程为：(x-1)cos(y-3)sin4，M(1,3)到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含 注：直线 l：(x-x0)cos(y- y0)sinR 为圆 M： 222 00 ()()xxxyR的切线系 例例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 22 4xy上两点， 点(1 1)A ，且 ABAC，则线段 BC 的长的取值范围为 解：法一（标解） ：设BC的中点为,M x y， 因为 22222 OBOMBMOMAM， 所以 22 22 411xyxy， 化简得 22 113 222 xy ， 所以点M的轨迹是以 11 22 ，为圆心， 3 2 2 为半径的 圆， 所以AM的取值范围是 6262 22 ， 所 以BC的取值范围是6262 ， 法二：以 AB、AC 为邻边作矩形 BACN，则 BCAN ， 由矩形的几何性质 （矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等） ，有 2222 OBOCOAON，所以 ON6， 故 N 在以 O 为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是6262 ， 变式变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 16:O xy，点 P1 2( , )，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且0PM PN，若PQPMPN，则PQ的 最小值为 3 35 变式变式 2 已知圆 1 C： 22 9xy，圆 2 C： 22 4xy，定点 (1,0)P， 动点,A B分别在圆 1 C和圆 2 C上， 满足90APB， 则线段AB的取值范围 2 31,2 31 变式变式 3 已知向量 a、b、c 满足3,2,1,() ()0abcacbc，则ab范围 为 2 31,2 31 x y O 例例 2 A B C M x y P O B A 策略二 动点 P 对两定点 A、B 张角是 0 90（1 PAPB kk，或PA PB0）确定隐形圆 例例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C： 22 (3)(4)1xy和两点(,0)Am，( ,0)B m， 若圆上存在点 P，使得90APB，则 m 的取值范围是 4,6 略解：由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点 （2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (1，0) ， Q(2 ，1) ，直线 l：0axbyc其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 2,3 2 解：由题意，圆心 C(1，2)在直线 axbyc0 上，可得 a2bc0，即 c2ba 直线 l：(2ab)x(2bc)y(2ca)0，即 a(2xy3)b(4x)0， 由 230, 40 xy x ，可得 x4，y5，即直线过定点 M(4，5)， 由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x5)2(y2)250， |CA|4 2，CH 最小为 52422，CH 最大为 425292， 线段 CH 长度的取值范围是2，92 （3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设mR，直线 1 l：0 xmy与直线 2 l：240mxym交于点 00 (,)P x y，则 22 000 2xyx 的取值范围 是 124 10,124 10 略解： l1过定点 O(0， 0)， l2过定点 A(2， -4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上 （除去一点） ， 变式变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kxy20 与 直线 l2： xky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 xy40 的距 离的最大值为 3 2 策略三 两定点 A、B，动点 P 满足PA PB确定隐形圆 例例 4 （1） （2017 年南通密卷 3）已知点(2,3)A，点(6, 3)B，点 P 在直线3430 xy上， 若满足等式20AP BP的点 P 有两个，则实数的取值范围是 解：设P（x，y），则(2,3)APxy，(6,3)BPxy， 根据 20AP BP ，有 2 2 13 4132 2 xy .由题意 圆： 2 2 13 4132 2 xy 圆与直线3 430 xy 相交， 圆心到直线的距离 22 3 44 03 3132 34 d ，所以2. （2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足CA CB（为常数）， 且点 C 总不在以点 B 为圆心， 1 2 为半径的圆内， 则负数的最大值是 . 3 4 略解：动点 C 满足方程 22 1xy. 策略四 两定点 A、B，动点 P 满足 22 PAPB是定值确定隐形圆 例例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(xa)2(ya2)21，点 A(0，2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA2MO210，则实数 a 的取值范围是 0，3 略解：M 满足的方程为 22 (1)4xy，转化为两圆有公共点 （2）（2017 年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C 所对的边分别为, ,a b c，若 222 28abc，则ABC面积的最大值为 2 5 5 解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系. 设(,0) 2 c A ，( ,0) 2 c B，( , )C x y，则由 222 28abc ， 得 2222 ()()28 22 cc xyxyc，即 222 5 4 4 xyc， 所以点 C 在此圆上，S 222 51552 5 4(4) 2244455 cc rccc 变式变式（2008 年高考江苏卷）若22ABACBC，则 ABC S的最大值 2 2 策略五 两定点 A、B，动点 P 满足01 PA PB (,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 例例 6（1） （2016 年南通一模）在平面直角坐标xOy中，已知点(1,0), (4,0)AB，若直线 0 xym上存在点 P 使得 1 2 PAPB,则实数 m 的取值范围 是 . 2 2,2 2 略解：点 P 满足圆的方程为 22 4xy，转化到直线与圆相交. （2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y21， O1：(x4)2y24，动点 P 在直线30 xyb上，过点 P 作圆 O，O1的两条切线， 切点分别为 A，B，若满足2PBPA的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围 _ 20 ,4 3 例例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30 方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击 已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍 假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行 （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据：sin17 3 6 ，335.7446） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 解：（1）略 （2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy 则 22 3B，设缉私艇在()P xy，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3 PA PB ，即 22 2 2 3 (2)2 3 xy xy 整理得， 22 999 3 444 xy， 所以点()P xy，的轨迹是以点 99 3 44 ，为圆心， 3 2 为半径的圆 因为圆心 99 3 44 ，到领海边界线l：3.8x 的距离为 1.55，大于圆半径 3 2 ， 所以缉私艇能在领海内截住走私船 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例例 8 （1）已知, ,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，2a ， (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则ABC面积的最大值为_3 y 公海 领海 A B 图乙 60 l x 领海 A B 北 (例 7) 30 公海 l 略解：cosA 1 2 ，A60，设ABC的外接圆的圆心为 O，外接圆的半径为 2 3 3 ，则 O 到 BC 的距离为 3 3 ，则边 BC 上的高 h 的最大值为 3 3 + 2 3 3 =3，则面积的最大值 为3 （2）（2017 年常州一模） 在 ABC 中， C45o， O 是 ABC 的外心， 若OCmOAnOB(m， nR)，则 mn 的取值范围是_2,1) 略解： AOB2C90，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上（在优弧 AB 上） 三、同步练习 1已知直线20:l xym上存在点 M 满足与两点( 2,0)A ,(2,0)B连线的斜率之积为1， 则实数 m 的取值范围是 2 5 2 5, 2(2016 年泰州一模)已知实数 a，b，c 满足 222 abc，0c ，则 2 b ac 的取值范围 为 33 33 , 3 已知,tR， 则 22 (cos2)(sin2)tt 的取值范围是 2 21,2 21 4 已知圆 22 341:()()Cxy和两点00(, ), ( , )AmB m0()m若圆 C 上存在点 P，使 得1PA PB，则 m 的取值范围是 15, 35 5在平面直角坐标系xOy中，圆 22 1xy交x轴于, A B两点，且点A在点B左边，若直 线+ 30 xym上存在点P，使得 2PAPB ，则m的取值范围为 13 ,1 3 6（2016 年苏北四市一模）已知) 1 , 0(A，)0 , 1 (B，)0 ,(tC，点D是直线AC上的动点， 若2ADBD恒成立，则最小正整数t的值为 4 7 （2016 年无锡一模）已知圆 22 :(2)4Cxy，线段 EF 在直线:1l yx上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A、B，使得0PA PB，则线段 EF 长度 的最大值是 14 8如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的 动点(与点 A,B 不重合)，连接 BC 并延长至 D，使得|CD| |BC|，则线段 PD 的取值范围 2 ( ,2) 3 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点(0)(0)Att，(0)B t，点 C 满足8AC BC， 且点 C 到直线 l：34240 xy的最小距离为 9 5 ，则实数 t 的值是 1 10 （2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知点0 0( , )O，0 3( , )A如果 圆 22 241:()()Cxaya上总存在点 M 使得2MAMO，则圆心C的横坐标a的 取值范围是 12 0 5 , 11已知向量 a、b、c 满足2a，3=ba b，若(2 )(23 )0cabc，则bc的最大 值是 12 12设点,A B是圆 22 4xy上的两点，点(1,0)C，如果90ACB，则线段AB长度的取 值范围为 71, 71 13在ABC中，BC 2，AC1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C、 D 两点在直线 AB 的两侧)当C 变化时，线段 CD