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第五章矩阵的特征值与特征向量习题解答1.求下列矩阵的特征值(1)n阶零矩阵(2) n阶单位矩阵(3) n阶单位矩阵解(1)2. 矩阵可逆的充分必要条件是特征值全不为零。证明设矩阵可逆，则，0不是特征值。如果不可逆，则0是的一个特征值。3. 已知的特征值为(1) 求的特征值；(2)求的特征值，为任意实数；(3)求的特征值，为正整数；(4)若可逆，求的特征值。解是的特征值。是的特征值。(3)存在，使得故是的一个特征值。(4) 可逆，其特征值.存在，使得故是的一个特征值.4.若有正整数,使得(为正整数)，则称为幂零矩阵，求证幂零矩阵的特征值是零.证明若是幂零矩阵的特征值,则是的特征值,零矩阵只有特征值0,故从而5.试证(1) 是正交矩阵的特征值,则也是的特征值;(2) 正交矩阵如果有特征值,则该特征值是+1或1.证明(1) 正交矩阵有逆矩阵,是正交矩阵的特征值,则是的特征值,故是的特征值,从而是的特征值.(2)设实数是正交矩阵的特征值,是属于的特征向量,则6.求下列矩阵的特征值和特征向量:解 7.设，如果把看成实数域上的矩阵，有没有特征值？如果把看成复数域上的矩阵，求的特征值和特征向量.解 没有实特征值.8.已知三阶可逆矩阵的特征值为求下列矩阵的特征值.解，9.已知的三个特征值为求.解10.已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.解 11.已知三阶矩阵的特征值为对应的特征向量为,试求矩阵.解 B:=matrix(1,1,1,0,-1,0,-1,0,1);C:=matrix(2,1,-1,0,-1,0,-2,0,-1);A:=multiply(C,inverse(B);12.如果可逆,证明与相似.证明 由于故13.如果与相似,与相似,证明与相似.证明 由条件,存在可逆矩阵和,使得,令,则故与相似.14.设证明 证明15.若与可交换，则与可交换.证明16.判断第6题中各矩阵是否可对角化?若可对角化,求出可逆矩阵,使得为对角矩阵.解(1)可以对角化,.(2)可以对角化.(3) 可以对角化(4),(5),(6)不可对角化.17.(1)对实对称矩阵找一正交矩阵使得为对角矩阵;(2)求解18.设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为求解 设属于特征值1的特征向量有两个线性无关的，它们与正交，取取.19.(1
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