微分流形讲义

微分流形讲义曹策问 2006年2月 引 言在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件。它是从常量数学到变量数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡。微积分方法的核心，基于弯曲与平直关系的恰当处理。从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是：“曲-直-曲”。从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形。将每个小扇形弯曲的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的圆弧的长。这样，圆就被一个多边形所代替。多边形面积等于各个小等腰三角形之和:(底高)(底)高。当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积。分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积:。这样，在局部上（无穷小范围内），以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积。微积分中最关键的，同时也最引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算。在科学史上曾对此争论不休。随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。历史上第一个令人震惊的应用，属于微积分的发明者之一牛顿。他证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论。这的确是人类理性的一次重大胜利。微积分是关于弯曲的科学。微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功。随着自然科学的深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露。在微积分的基础上不断更新发展，出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科。从历史上看, 微分流形有三个来源：几何。首先是球面。一张地图描述不了地球；需要一本地图集。地图(chart)、地图集(atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集。整体几何中的曲线与曲面提供了微分流形的丰富例子。力学。将约束系统的运动，看成弯曲空间中的运动，这是Lagrange的出色想法与贡献。例如，平面单摆可视为质点在圆周上的运动，平面双摆可视为质点在环面上的运动。武术中的三节鞭，视为球面三摆时，构形空间是一个有趣的六维流形。约束系统的构形空间，提供了微分流形的大量例子。重要的是，高维流形在现实世界中以约束系统的构形空间的形式出现，加强了流形论的实际应用意义。函数论。Riemann在研究复变函数的反函数时，遇到了多值函数。通过粘贴几叶复平面，实现了多值函数的单值化。或者说，多值的复杂性转化为多叶Riemann面的几何复杂性，化成了流形问题。多项式方程的解集合，提供了更为丰富的微分流形的例子。例如二维复数空间中的方程（准确说，是二维复射影空间中）：的解集合称为超椭圆曲线，在拓扑上同胚于一个带个环柄的球面，等于的整数部分。在数学结构上，流形论是一个不可缺少的部分。简而言之，集合论位于“包含与从属”的层面，拓扑学位于“连续性”的层面，而流形论则位于“可微性”的层面。流形的局部理论，秉承了微积分的核心技术：弯曲与平直关系的恰当处理。例如流形在一点的线性化产生切空间；流形之间的映射在一点的线性化产生切映射；其中使用的，便是典型的微积分方法的延伸。切空间与切映射属于流形论中最基本的概念。流形的整体理论，则综合运用拓扑，代数，分析，几何等诸多领域的概念和方法，揭示微分流形的整体性质，以及整体性质和局部性质的关系，构成流形论丰富多彩的内容，例如Stokes公式，Gauss-Bonnet公式，同调与上同调的de Rham对偶理论等等。第1章 多元函数与映射多元微积分是构建流形论的重要基础之一。最简单的多元函数是线性函数，它与向量的相互作用，构成线性对偶理论，是线代数基本内容之一。流形论中的切空间和余切空间，向量场和微分形式，也都是由此发展出来的线性对偶。流形的积分理论中，由积分区域与被积表达式发展出来的同调群与上同调群的de Rham对偶，属于线性对偶理论的高级形态，深刻地刻画了流形的整体拓扑性质。多元微积分的基本对象是多元映射，它的分量是多元函数。最简单的多元映射是线性映射，给定向量空间的基以后，它表现为矩阵。内容更加丰富的是非线性映射，有更多的应用，也更困难。微积分处理非线性映射的基本手段之一，是研究它的微分（切映射），即将它在一点处线性化得到的线性映射；其坐标表示是Jacobi矩阵，它在相当大的程度上刻画了非线性映射在一点处的行为，基本内容由秩定理给出。秩定理是非常重要的工具。也是研究子流形的基础。1.1 线性对偶1.1.A 对偶空间。设为向量空间，称映射为线性函数，若：, , 。两个线性函数,的线性组合，是一个新的线性函数，取值为：, 。上全体线性函数,配上线性运算，成为一个新的向量空间，称为的对偶空间，记为。的元素，即上的线性函数，称为余向量 (covector)。引进配对符号：，则上述两组线性关系可以写为对称形式：由此得一双线性函数：。1.1.B 基与对偶基。设为维向量空间，是它的一组基。则每一向量可展为：；最后一式中用了Einstein求和约定：出现重复的上下指标时，对指标的定义域求和。今后将经常采用，以简化表述。由线代数中基的定义，展式第个系数被向量唯一确定，由此得到一个函数，称为基底下的第个坐标函数：。命题：坐标函数是线性函数，且与基满足双正交关系：其中Kronecker符号当时为，当时为。证明：设，其中。则：因此，。观察展式，不难看出。另方面，由系数公式可得。这就完成了证明。定理：设是维向量空间，是一组基。则对偶空间也是维向量空间，相应的坐标函数是它的一组基，称为的对偶基。证明：线性无关。事实上，设；作用于，由双正交关系，得。现证完备性。取中任一余向量，作用于任意一个向量：因此。附注：用对偶基来写与中的元素的展开式，非常便于应用:双线性函数有简单的坐标表示：。1.1.C 有限维向量空间的自反性。对固定的向量，双线性函数成为上的一个线性函数：。故。由此得到一个映射：定理：向量空间与为线性同构。证明：先证是线性的。，再证是单射。设。对任何，由坐标表示：。由任意性，每一个为零，故。最后证明是满射。以及其基为出发点，重建对偶理论。给定。则对任意的，有坐标表示：。构造中的向量。我们有。因此。线性映射既单且满，故为线性同构。在线性同构意义下，向量就是对偶空间上的线性函数：。线性同构称为向量空间的自反性，是有限维时成立，无限维时就不一定成立了。1.2 映射的微分设是的开集，为一映射。称在点可微，若存在常数矩阵和向量值函数，使得：。记；线性映射称为映射在点的微分。其意义是，当，与齐线性函数的差，是的高阶无穷小。命题：若在点可微，则在点连续，且恰为Jacobi矩阵：，其中自变量，因变量均采用列向量记法。证明：记，则例1：线性映射，是常数矩阵。例2：。命题：设是中的开集，为一映射。若在点的某开邻域存在且连续，。则在点可微。证明：存在闭球，在其中连续，故一致连续。令，则在存在且连续。下列计算表明在点可微：记矩阵的全体为。指定矩阵变元的一种排序方式，则从集合论层面看，就是，故可赋予欧氏拓扑。当时，是上的连续映射：。进一步，若，则。引理：设矩阵的变元恒有界；则。证明：命题：（chain rule）设分别是的开集。若映射分别在点可微。则复合映射在点可微，且：。证明：记。则。应用于下列计算：往证时。设的上界为，则：当时，；故最后一个式子趋于零。1.3 反函数定理定义：设是的开集。称映射为微分同胚，若它是一个同胚，且，。注意，若是同胚，而且光滑，推不出光滑。例如，是一个同胚，而且光滑；但，在处无导数。命题：（压缩映象原理）设为完备的度量空间；为一映射，满足：，其中常数。则有唯一的不动点。证明：任取，构造迭代序列：。则。往证是Cauchy序列。将不等式运用次：。特别，我们有，因此任给，取，则时，。在完备的度量空间中，Cauchy序列有唯一的极限点。由于：故是不动点：。它是唯一的。事实上，若还有，则。因此。定理：（反函数定理）设是的开集，是映射，。若在点Jacobi矩阵非退化，则存在的开邻域，使得（1）是开集；是微分同胚；（2）。（反函数定理也称为局部同胚定理）。证明：断语1：可化为（单位阵）。令。则。由链法则。将取为的逆矩阵即化到所需情形。以下恒假定成立。考虑辅助映射。显然。断语2：存在闭球，在其中非退化；且对任何有事实上，可取充分小，满足三点要求：首先，闭球；其次，在此闭球中连续函数（因在取值为）；第三，在此闭球中的每一个变元满足（因在，矩阵的取值为）。设，则，；从而有：在此基础上，根据下面简单估计即得断语2的第二个公式：。断语3：对每个，在中存在唯一的点，满足。定义。当，。故有，且为压缩映射：。为完备的度量空间，故在中有唯一的不动点：；即。利用压缩映象原理时，要用闭球。为达到定理要求，需过渡到开球上讨论。设属于开球，则它属于闭球。因而存在在唯一的，满足。易证实际上属于开球：。因此当，集合与有且仅有一个交点：。定义。因连续，是的开集，故是的开集。断语4：。任取，则。因此。反过来，任取，则点满足。由的定义，。故，因此。断语5：是同胚。由断语4，它是满射。设，则。由断语1，。故，为单射，从而是一一映射。记其逆映射为。改写上式：，知其连续性。断语6：是微分同胚。只需证逆射是光滑的。首先证明它在每一点是可微的。任取，则有，。由在的可微性：，其中。记，作用于上式得：由断语1，。记矩阵诸变元绝对值的上界为，则。当，连续函数，上式趋于零。故在可微，。矩阵的每一变元都是的多项式除以的行列式，因此是的。从而是的。1.4 秩定理秩定理是反函数定理的推广，是用映射的线性化（映射的微分）研究映射结构的范例。设是实矩阵，其行向量为维。全体行向量张成的子空间，其维数称为的行秩。的全体列向量张成的子空间，其维数称为的列秩。由线代数：行秩列秩的非零子式的最大阶数。行秩即列秩称为矩阵的秩，记为。设是有限维向量空间，是线性映射。在任一组基下的矩阵的秩，不依赖于基的选择，称为线性映射的秩。由线代数，等于象空间的维数。定义；设是的开集，在点可微。称的秩为映射在点的秩，记为。容易证明与坐标选取无关。命题：设是的开集，是映射。若在点的秩等于，则存在的开邻域，在其中恒有。证明：有阶子式在点不等于零。由的连续性，存在的开邻域，在其中；故的秩。例：。故在原点的秩为；在两条直线上（除去原点外）秩为；在其余每一点秩为。秩定理：设（1）是的开集，是映射，；（2）在中恒为常数；（3）为的任一点，。则分别存在的开邻域，和同胚使得，且是投射：。证明：设中的坐标为。用代换化为，情形。下面总表示单位矩阵。第一步：定义域中特定坐标的选取。交换变元的顺序（只相差非退化线性变换），将的非退化阶子矩阵化到右上角。即，不失一般性，设下列矩阵在处非退化：。秩条件提供个有利的特定变量，代替头个自变量。将新变量记为：。此式定义了一个映射，它的Jacobi矩阵在处非退化：定义域中特定坐标的选取。显然。根据反函数定理，存在的开邻域，使得在其上的限制是一个同胚：其中。第二步：特定坐标下映射的局部表示。此表示为：其中。Jacobi矩阵为：， 由链法则，。当，非退化，因此。故，不依赖于，只依赖于。由此。第三步：值域中坐标的选取。现在选取在附近的坐标，以便进一步简化的上述坐标表示。定义：现研究的定义域。取充分小，使得。则当，值域中坐标的选取此时有定义。若属于维开球，则，故有定义。因此可选为的定义域；有定义且为映射。它的Jacobi矩阵非退化：。由反函数定理，存在点的开邻域，使得在其上的限制给出同胚，其