第四章 第三节 向量组的秩

第三节 向量组的秩 一、基本概念一、基本概念 1 1、向量组等价、向量组等价设设 为两为两 个向量组，若个向量组，若 （1 1） nm BA,:;,: 2121 nmnmmm nn nn kkk kkk kkk 2211 22221212 12121111 , , 称向量组称向量组 可由向量组可由向量组 线性表示；线性表示； 若若 （2 2） 称向量组称向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。 若（若（1 1）（）（2 2）都成立，称两个向量组等价。）都成立，称两个向量组等价。 AB mnmnnn mm mm lll lll lll 2211 22221212 12121111 , , BA 2 2、向量组的极大线性无关组、向量组的极大线性无关组设设 为向为向 量组，若量组，若 （1 1）存在）存在 个向量线性无关；个向量线性无关； （2 2）任意）任意 个向量（如果有）一定线性相关，个向量（如果有）一定线性相关， 称称 个线性无关的向量为向量组个线性无关的向量为向量组 的极大线性无关组，的极大线性无关组， 称为向量组的秩。称为向量组的秩。 3 3、矩阵的行秩与列秩、矩阵的行秩与列秩设设 为为 矩阵，令矩阵，令 n A,: 21 r 1r r A r Anm 称称 为矩阵为矩阵 的行向量组，其秩称为矩阵的行向量组，其秩称为矩阵 的行秩；称的行秩；称 为矩阵为矩阵 的列向量组，其秩的列向量组，其秩 称为矩阵的列秩。称为矩阵的列秩。 ),( 21 2 1 n m A m , 21 A n , 21 A 【注解】【注解】 （1 1）极大线性无关组不一定唯一。）极大线性无关组不一定唯一。 （2 2）向量组）向量组 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 的秩等于的秩等于 ； 线性相关的充线性相关的充 分必要条件是分必要条件是 的秩小于的秩小于 。 （3 3）设）设 , ,则则 情形一：向量组情形一：向量组 与向量组与向量组 的秩相等的充分必要条件的秩相等的充分必要条件 是向量是向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。 n , 21 n bAA mm ,:;,: 2121 n n , 21 n , 21 n , 21 AA b n , 21 情形二：向量组情形二：向量组 的秩与向量组的秩与向量组 的秩不等的充分必要的秩不等的充分必要 条件是向量条件是向量 不可由向量组不可由向量组 线性表示。线性表示。 （4 4）设）设 为为 矩阵，矩阵， 为为 矩阵，矩阵， 且且 ，则，则 。 A sn A A n , 21 B b nm ),( 1s B ),(),( 211ss AAAAAB 二、性质二、性质 性质性质1 1 矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量 组的秩相等。组的秩相等。 性质性质2 2 设设 ； ， 若向量组若向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，则线性表示，则 组的秩不超过组的秩不超过 组的秩。组