二次函数专题竞赛讲

初中数学竞赛二次函数专题【一、求二次函数的解析式，各项系数及相关代数式的值】例1 二次函数，当时，有最大值25，而方程的两根、，满足，求、。例2（07年全国联赛）为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.1、（2011全国竞赛乙卷）已知对任意的实数x，二次函数y = ax2 + bx + c满足x2 + 2x + 2y2x2 + 4x + 3，且当x = 9时，y = 121求a + b + c的值2、证明：无论取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。【二、二次函数根的分步及整数解问题】例3、（2003年全国联赛）设m是整数且方程3x2+mx-2=0的两根都大于而小于，则m= 例4、（05年全国联赛）a、b、c为实数，ac0，且，证明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根.例5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|1000，则c= 例6、（2007年全国联赛）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数图像的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.例7、（2010年全国联赛）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.3、（2013希望杯）若关于x的二次函数的图像与端点在（-1,1）和（3,4）点线段只有一个交点，则m的取值范围是_ _【三、二次函数与几何结合的综合问题】例8、（2013全国竞赛甲）如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE 例9、（2011全国竞赛甲卷）如图，已知A为y轴正半轴上一点，点A、B关于x轴对称，过A任作直线与抛物线交于P、Q两点（1）求证：ABP =ABQ；（2）若点A(0，1)，且PBQ = 60，试求所有满足条件的直线PQ的解析式例11、（2003年全国联赛）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac=_ _例12、（2010全国竞赛）如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.4、（2010年全国联赛）二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C已知，则 5、（2011年全国联赛）二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 6、（2012年全国竞赛乙卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sinABC=CD与y轴交于点E，且SCOE = SADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.例13、（2012年全国联赛A卷）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.设M，若AM/BC，求抛物线的解析式.7A如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由8、（2012年全国联赛C卷）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且QBOOBC.求抛物线的解析式.【四、二次函数最值问题】例14 已知二次函数有最大值3，求实数的值。例15、（2013年全国联赛初赛）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c