概率论与数理统计公式整理(完整精华版)

第一章随机事件及其概率(1)排列组合公式从m个人到n个人的可能数量。从m个个体中选出的n个个体的可能组合数。(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法都可以实现):m n完成一件事有两种方法。第一种方法可以用M种方法来做，第二种方法可以用N种方法来做，那么事情就可以用M种方法来做。乘法原理(两步不能分别完成):mn一件事可以分两步完成，第一步可以用m种方法完成，第二步可以用n种方法完成，然后这件事可以用mn种方法完成。(3)一些常见的安排重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少一个)序列问题(4)随机测试和随机事件如果一个测试可以在相同的条件下重复，并且每个测试都有一个以上的可能结果，但是在进行测试之前不能确定它有哪个结果，那么这个测试就称为随机测试。实验的可能结果被称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个实验中，不管有多少事件，这样一组事件总是可以从它们中找到。它具有以下属性：(1)每个测试必须发生，并且在该组中只能发生一个事件；(2)任何事件都是由该组中的一些事件组成的。这样一组事件中的每一个事件都被称为基本事件，用于表示。整个基本事件称为测试的样本空间，由表示。事件是中某些点(基本事件)的集合。事件通常用大写字母a、b、c表示，它们是子集。这是不可避免的事件，也是不可能的事件。不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同样，不可避免事件的概率()为1，概率为1的事件不一定是不可避免的事件。(6)事件的关系和操作(1)关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(如果事件A发生，事件B必须发生):如果有，那么事件a等于事件b，或者a等于b: a=b。发生了A和b中的至少一个：AB或A B属于甲而不属于乙的部分形成的事件称为甲与乙的区别。它被记录为A-B，或者可以表示为甲-乙，或者表示甲发生而乙不发生的事件。同时发生的：AB，或AB。AB=，这意味着A和B不能同时发生，事件A和事件B不兼容或互斥。基本事件彼此不相容。-A被称为事件A的逆事件，或事件A的逆事件，并被记录为。它意味着一个事件不发生在一个。互斥不一定是相反的。(2)操作：结合率：a(BC)=(ab)c a46；(b c)=(a b) c分配比：(ab)c=(ac)bc)(ab)c=(AC)c(BC)德摩根利率：(7)概率的公理化定义将样本空间设置为一个事件，并为每个事件设置一个实数P(A)。如果满足以下三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1对于两个相互不兼容的事件，有通常称为可数(完全)可加性。那么P(A)被称为事件的概率。(8)经典概率1，2 .如果任何事件都是由组成的，那么就有P(A)=(9)几何概率如果随机测试的结果是无限的和不可数的，并且每个结果出现的概率是一致的，并且样本空间中的每个基本事件可以用一个有界区域来描述，那么随机测试被称为几何概率。无论如何。其中l是几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式P(A B)=P(A) P(B)-P(AB)当p (ab)=0时，P(A B)=P(A) P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA，P(A-B)=P(A)-P(B)当a=时，P()=1- P(B)(12)条件概率该定义假设A和b是两个事件，在事件A发生的条件下，P(A)0称为事件b发生的条件概率，记为。条件概率是一种概率，概率的所有性质都适用于条件概率。例如，p (/b)=1p (/a)=1-p (b/a)(13)乘法公式乘法公式：更一般地，对于事件A1、A2，如果p (a1a2，an-1) 0，则有.(14)独立性(1)两个事件的独立性假设事件和满足是相互独立的。如果这些事件相互独立如果事件和是相互独立的，那么和、和、和也是相互独立的。不可避免和不可能的事件和任何事件都是相互独立的。对任何事件都是互斥的。(2)多个事件的独立性让美国广播公司成为三个事件。如果满足两个或两个独立个体的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么a，b和c是相互独立的。类似于n个事件。(15)总概率公式设置事件满意度1两者互不相容。2，有。(16)贝叶斯公式设置事件、和会议1，2彼此不兼容，0，1，2，2，然后，i=1，2，n .这个公式就是贝叶斯公式。，(，)，通常称为先验概率。(，)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，做出了“因果”的推论。(17)伯努利型我们已经做了这个实验，并感到满意每个测试只有两种可能的结果，有或没有；u测试是重复的，也就是说，每次发生的概率是相同的。每个测试都是独立的，也就是说，每个测试是否发生以及其他测试是否发生并不相互影响。这种测试称为伯努利概率型，或重伯努利测试。如果每个测试的概率用表示，则出现的概率为，如果伯努利测试中出现的概率用表示，第二章随机变量及其分布(1)离散随机变量的分布规律让离散随机变量的可能值为xk (k=1，2，)和每个值的概率，即事件的概率(X=Xk)是P(X=xk)=pk，k=1，2，上述公式称为离散随机变量的概率分布或分布规律。有时也以分发列表的形式给出：显然，分配法应该满足以下条件：(1)，(2).(2)连续随机变量的分布密度假设它是随机变量的分布函数。如果有一个非负函数，对于任何实数，都有,它被称为连续随机变量。称为概率密度函数或密度函数，称为概率密度。密度函数具有以下四个属性：1 .2 .(3)离散和连续随机变量之间的关系连续随机变量理论中积分元的作用类似于离散随机变量理论中的作用。(4)分布函数如果它被设置为随机变量并且是任何实数，则函数被称为随机变量x的分布函数本质上是一个累积函数。可以得到x落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间(，x)的概率。分布函数具有以下属性：1；2是一个单调而不减的函数，瞬间就有了；3，4、即右连续；5 .对于离散随机变量；对于连续随机变量。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q二项分布在大量的伯努利试验中，假设一个事件的概率为。事件发生的次数是一个随机变量；如果设置为，则该值可能为。其中，据说随机变量服从带参数的二项分布。把它写下来。当时，这是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项式分布的一个特例。泊松分布假设随机变量的分布规律为，随机变量被称为服从带参数的泊松分布，并被记录为或p()。泊松分布是二项式分布(np=，n)的极限分布。超几何分布随机变量x服从参数为N，N，M的超几何分布，表示为H(n，N，M)。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量x服从参数为p的几何分布，记录为G(p)。均匀分布让随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上是常数，即axb其他，然后随机变量被称为均匀分布在a，b上，并被记录为XU(a，b)。分配函数是axb0，xb .当a ax1x1时，F(x2，y)F(x1，y)；当yy1，F(x，y2) F(x，y1)时；(3)F(x，y)分别与x和y右连续，即(4)(5)对于。(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型x的边缘分布是；y的边缘分布是。连续型x的边缘分布密度为y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=xi的条件下，y值的条件分布为在Y=yj已知的条件下，x值的条件分布为连续型在Y=y已知的条件下，x的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，y的条件分布密度为(7)独立性一般类型F(X，Y)=FX(x)FY(y)离散型没有任何独立性连续型f(x，y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量(2)正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数如果x1，x2，xm，xm1，xn相互独立，h，g是连续函数，那么：H(X1，x2，xm)和g (xm1，xn)彼此独立。特例：如果X和Y是独立的，h(X)和g(Y)是独立的。例如，如果x和y是独立的，那么：3X 1和5Y-2是独立的。(8)二维均匀分布假设随机向量(x，y)的分布密度函数为其中SD是区域d的面积，那么(x，y)被认为遵循d上的均匀分布，并且被记录为(x，y)-u (d)。例如，图3.1、3.2和3.3。y1D1O 1 x图3.1yD211O 2 x图3.2yD3dcO a b x图3.3(9)二维正态分布假设随机向量(x，y)的分布密度函数为在有5个参数的情况下，据说(x，y)遵循二维正态分布。记为(x，y) n(从边缘密度的计算公式可以推导出二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。即x n(然而，如果x n (x，y)不一定是二维正态分布。(10)功能分布Z=X Y根据定义计算：对于连续类型，FZ(z)=1两个独立正态分布的和仍然是正态的()。n个相互独立的正态分布的线性组合仍然遵循正态分布。,z=最大值，最小值(X1，X2，Xn)如果它们彼此独立并且它们的分布函数分别为，则z=max，min (x1，x2，xn)是：分布假设n个随机变量相互独立且服从标准正态分布，则可以证明它们的平方和。的分布密度为我们称随机变量服从自由度n的分布，表示为w ，其中所谓自由