六自由度运动平台的仿真研究

六自由度运动平台的仿真研究天津工程机械研究所杨永立摘要：本文分析了六自由度运动平台分别用球铰链和关节铰链连接时的自由度，用欧拉角、旋转变换的方法导出位置逆解方程式，介绍了数值迭代法位置正解的过程。关键词：并行、局部自由度、位置逆解、位置正解。1 .前言运动平台在结构上分为串联和并联两种。 与串联形式相比，并联形式具有刚性大、承载能力强、结构简单、运动负荷小、可以实现横动、纵向移动、提升等多种自由度运动等特点。 同时，串联形式优点也明显，具有运动空间大，测量精度高，运动、受力分析比较简单，控制、测量实现比较容易，可以按自由度独立运动等特征。六自由度运动平台(图1所示)是六个汽缸通过接头铰链(或球铰链)连接上下两个平台而成的，下平台固定在基础上，通过六个汽缸的伸缩运动，完成上平台在三维空间中的六自由度(x、y、z、)的运动2 .自由度的确定如果三维空间中有n个不受完全约束的物体，任一个作为固定参照物，则由于每个物体对参照物有6个运动自由度，所以n个物体对参照物有6个运动自由度。 如果在所有物体之间用运动副结合构成机构，则将第I个运动副的约束设为ui (从1到5的整数)，将运动副的总数设为g，则机构的自由度m如下使用上述公式，计算图1所示的运动台(采用球铰链)的自由度数。 如果将气缸分解成缸筒和活塞杆，则总部件数n=14，气缸和上下模座间的连接为12个球铰链(约束为3 )，缸筒和活塞杆构成6个可相对移动和相对旋转的运动副(约束为4 )，模座的自由度m如下=6 (14-1)-(312 46)=18计算结果令人意外，平台好像只能用六个汽缸驱动。 但是，在固定上平台和缸筒的状态下，从球铰链的特性可以看出，与活塞杆可以相对其轴线转动一样，缸筒也具有相同的效果。 实践证明，该旋转不影响上平台的空间运动姿势，因此是局部自由度。在六自由度运动平台的实际设计中，由于球铰链的刚性差，结构不稳定，所以一般采用接头铰链(图2所示，约束为4 )来代替图1的球铰链，但自由度m如下=6 (14-1)-(412 46)=6图2接头铰链3.6自由度运动平台空间姿态的计算实现平台空间姿态的控制和测量，必须掌握其两个方向的解的方法，即位置的逆解和位置的正解。3.1位置逆解(逆解):知道输出部件的位置和姿势，求出输入部件的位置称为机构的位置逆解。 在运动平台的实际应用中，用户给出的是平台的6个空间姿态参数x、y、z、，但是要实现平台的控制，需要6个汽缸的长度L1、L2L6，这正好是输出要求输入也就是说，为了实现平台空间姿态的控制，需要导出平台的位置反解方程。如图1所示，如果在上平台上创建运动坐标系o-xyz，在下平台上创建静止坐标系o-xyz，则上平台的运动被分解成沿o-xyz坐标原点o的o-xyz的3坐标轴方向的直线移动(x、y、z )和以坐标轴为中心的旋转(、)。 为了避免角度之间的“耦合”，一般用欧拉角来表现刚体的旋转状态，但欧拉角的定义因旋转顺序而异。 欧拉角定义为围绕z轴为，围绕y轴为，围绕x轴为。 下平台的各铰链A1、A2、a 6的坐标(XA1，YA1，ZA1)、(XA2，YA2，za2)(xa 6，YA6，ZA6)和上平台的各铰链A1，A2、a 6的动坐标(XA1，YA1，ZA1)、(XA2，YA2，za2)(只要求出，的上平台的各铰链的静坐标(Xa1、Ya1、Za1)、(Xa2、Ya2、Za2)(Xa6、Ya6、Za6)就能够用2点间距离式求出L1、L2L6。以A1和A1为例，计算与其相连的气缸的长度L1。 在这样分解运动的情况下，静坐标(Xa1，Ya1，Za1 )和动坐标(Xa1，Ya1，Za1 )有如下的变换式.其中T是与、有关的旋转变换矩阵，在式中仅矩阵T未知，所以如下求出该旋转变换矩阵。a绕z轴绕 b旋转轴绕 c旋转轴旋转图3欧拉角坐标系根据本文定义的欧拉角，制作图3所示的4个坐标系、 首先，使绕z轴旋转，并且其变换关系如下x=cos-siny=sin cosz=矩阵的形式如下=C围绕轴旋转，其变换关系如下=B当以轴为中心旋转时，其变换关系如下=A上述三个转换公式合并后，如下所示从以上的变换过程可知，在仅旋转而没有平移的情况下，(Xa1，Ya1，Za1)与(x，y，z )相等，是相同的静坐标，而(Xa1，Ya1，Za1)与(，)，是相同的动坐标，因此，旋转变换矩阵 t = c 。如果将矩阵T代入前面的变换式，则求出a1的静态坐标(Xa1，Ya1，Za1 )，气缸的长度L1如下求出可以说同样的话 3.2位置正确答案(正向解):知道机构输入端子的位置，求出机构输出端子的位置和姿势称为机构的位置正解。 由于6自由度运动载物台是并列机构，所以直接测量载物台的6自由度的空间姿势非常困难，但可以用位移传感器测量各气缸的长度，经过位置正解，间接地求出载物台的空间姿势。 迄今为止，没有直接的正解方程式，只能采用数值反复的方法，利用计算机的高速运算的特征来求出平台的姿势。 目前提出的迭代求解方法很多，本文采用的是牛顿法，其基本原理是把非线性方程变成线性方程求近似解，并根据该近似解进一步反复接近非线性方程的真解。 从位置逆解方程式中得到f1(X，y，z，)=l 12- (xa 1xa1)2(ya 1ya1)2(za 1za1)2)=0f2(X，y，z，)=l2- (xa 2xa2)2(ya 2ya2)2(za 2za2)2)=0 f6(X，y，z，)=l 62 (xa 6xa6)2(ya 6ya6)2(za 6za6)2=0此时，六个气缸长度L1、L2 L6是已知的，需要求出平台的空间姿势x、y、z、。 假设X=(X，y，z，)， F(X)=(f1()、f2()、f3()、f4()、f5()、f6()，”，则位置正解的反复式如下xk1=xk(