人教版高中数列知识点总结（知识点例题）

数学必修5 数列知识点1：等差数列及其前n项1等差数列的定义2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式ana1(n1)d .3等差中项如果 A ，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam（n-m）d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7等差数列的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 大 值；若a10，则Sn存在最 小 值难点正本疑点清源1等差数列的判定(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.2等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(3)S2n1(2n1)an.(4)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)例1（等差数列的判定或证明）：已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 (1)证明an2 (n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1(2)求d的取值范围解(1)由题意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.例3（前n项和及综合应用）(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和解方法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n10q1q=1q0递增递减常数列摆动数列a0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项(1)设数列an的公比为q，由通项公式ana1qn1及已知条件得：由得a1q38.将a1q38代入式，得q22，无解将a1q38代入式，得q24，q2.，故舍去当q2时，a11，S8255；当q2时，a11，S885.(2)若q1，则na140,2na13 280，矛盾q1，得：1qn82，qn81， 将代入得q12a1.又q0，q1，a10，an为递增数列ana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81372 187.例2已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n. 当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.例3在等比数列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.例4已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式规范解答(1)证明b1a2a11，1分当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，5分bn是首项为1，公比为的等比数列6分(2)解由(1)知bnan1ann1，8分当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 10分11n211n1当n1时，111a1，ann1 (nN*)14分例4 （07 重庆11）设的等比中项，则a+3b的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos, 22cos2,23cos3, ,前100项之和为0, 则的值为 （ ）例6 ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为_等边三角形_.【综合应用】例7.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.2)由an1得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.知识点3：数列的基本