自动控制理论（第2版）（夏德钤　翁贻方）第二章++控制系统的数学模型.ppt

第二章控制系统的数学模型，本章的知识点：线性系统的输入-输出传递函数是建立机械和电气系统数学模型的机制分析传递函数的定义和物理意义的典型方面的数学模型框图和简化方法信号流程图以及梅森公式是应用非线性数学模型的小范围线性化，第一节线性系统的输入/输出时间函数说明，物理模型3354所有组件或系统实际上都很复杂，需要准确、全面地解释，难以简化或理想化。简化的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，并根据问题的性质和解决的确切要求确定合理的物理模型。数学模型物理模型的数学说明。描述系统输入、输出和内部变量之间动态关系的数学表达式。数学建模是从实际系统中抽象系统数学模型的过程。建立物理系统数学模型的方法，机制分析分析了系统各部分的运动机制，并根据它们遵循的物理定律、化学定律列出物理量之间的数学表达式，从而建立了系统的数学模型。实验识别将某种测试信号(例如相位、脉冲、正弦等)应用于系统，以记录基本输出响应(时间响应、频率响应)并估计系统的传递函数。建立机制分析系统数学模型的步骤决定了系统的输入量、输出量；根据物理定律写原始方程式。删除中间变量，创建表示系统输入和输出关系的线性常微分方程。机构分析建立了系统的数学模型。例如，2-1:图2-1是RC 4终端手动网络。测试列写入网络微分方程，其中U1(t)为输入数，U2(t)为输出量。解决方案：设置回路电流i1、I2，然后按(1)、(2)、(3)、(4)、(5)，机构分析按(4)、(5)，按(2)设置i1、(2)，机构分析建立了系统数学模型的实例，机构分析建立了系统数学模型的实例。例如，2-2图2-6是电枢控制直流电动机的微分方程，电枢电压Ua(t)(v)为输入，电动机速度m(t)(rad/s)为出口量，列为微分方程。在插图中，ra ()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折叠在马达轴上的总负载扭矩。这里的磁通量是常数。建立了机构分析系统数学模型的实例，解决方案：电枢电路平衡方程，Ea电枢逆位，Ea=cero m(t)ce 3354逆电动势系数(v/rad/s)，电机机电时间常数(s)，电枢电阻Ra和电机惯性矩Jm小，忽略时机的话，电机速度与电枢电压成正比，因此电动机可以用作速度发电机。第二节线性系统的输入-输出传递函数说明，1，传递函数1。定义：定义线性常数系统的传递函数，0初始条件下系统输出正拉普拉斯变换和输入正拉普拉斯变换的比率。0等于t0时，使系统r(t)、c(t)和每个阶导数为零。线性系统微分方程的一般形式是当初始条件都为零时，在自下而上两边寻找拉普拉斯变换，求出系统的传递函数，的根，即线性微分方程特性方程的特征值。零传递函数分子S多项式，传递函数G(S)是复合函数，S的有理函数。有mn。极传递函数分母s多项式，根。函数传递是在初始条件为0时由微分方程的拉普拉斯变换得到的。如果知道系统的传递函数和输入信号，则得到初始条件为0时输出的拉普拉斯变换C(s)，得到系统的响应c(t)，即系统的零状态响应。系统响应的特性由传递函数确定，与系统的输入无关。传递函数由系统的结构和参数确定。传递函数的分母多项式是微分方程的特征多项式，是一个环传递函数。同一系统可以为不同的输入获取不同的传递函数，但唯一多项式是唯一的。在给定输入和初始条件下求解微分方程，包括两部分系统响应=0输入响应0状态响应0输入响应 0输入时对0初始状态的系统响应。零状态响应 0在初始条件下对输入的系统响应。传递函数的几个性质，传递函数G(s)是复杂变量s的合理真分数函数，mn，所有系数都是实数。传递函数G(s)取决于系统或元件本身的结构和参数，与输入量的形式(步骤对大小)无关。传递函数G(s)说明系统输出和输入之间的关系，但不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为伪系统。传递函数的一些特性，如果系统的传递函数未知，则向系统添加输入，以根据该输出确定传递函数。系统传递函数是系统单位冲量响应g(t)的拉普拉斯变换Lg(t)。示例2-3示例查找2-1系统的传递函数。输入-输出微分方程将初始状态设置为0，求出方程两边的拉普拉斯变换。此函数是RC 4终端网络的传递函数。第三部分是非线性数学模型的小范围线性化。严格地说，所有实际系统都有不同级别的非线性。对于非本质非线性数学模型，可以使用小范围线性化方法。设置非线性数学模型，如图所示。函数y=f(x)设置为在(x0，y0)点附近连续可微分(非线性系统数学模型线性化的条件)时，函数f(x)可以在(x0，y0)附近延伸到泰勒级数。表达式中的比例系数取决于工作点A(x0，y0)，类似于具有多个输入量的非线性系统线性化方法。寻找、线性化微分方程的步骤按物理和化学定律列出了系统的原始方程，并确定平衡点中变量的值。了解原始方程的中间变量与其他元素的关系，对于非线性函数，如果每个阶导数在原始平衡点相邻的范围内存在并且是唯一的，则可以进行线性化过程。将非线性特性扩展到泰勒级数，忽略偏差量的父项，保留一次，得出相应的系数值。移除中间变数，并将原始方程式中的每个变数显示为平衡点的值，以偏差量表示。注意事项：(1)线性方程式中的常数与所选静态工作点的位置相关，如果工作点不同，则其常数也不相同。(2)泰勒级数线性化是小范围线性化。如果输入量的更改范围很大，则使用上述方法创建数学模型时会出现更多错误。因此，仅在输入量发生较大变化时可用。(3)非线性特性不符合可微分条件，则不能使用上述处理方法。(4)线性化方法得到的微分方程是增量方程。由微分方程直接导出的传递函数是复杂变量s的合理分数。对于实际物理系统，传递函数的分子，分母多项式的所有系数都是实数，分母多项式的阶n不低于分子多项式的阶m，分母多项式的阶n的传递函数称为n次传递函数，该系统称为n次系统。传递函数可以用复合变量s的合理分数：表示，传递函数可以用0，极表示：第四节典型连接的数学模型，系统传递函数有时具有0极，传递函数具有0极，0极具有实数和共轭复数，传递函数的最后两种表达的一般形式如下：显示、系统传递函数包含几个常见的基本元素，如表达式中的(js1)、1/(Tis 1)等。也就是说，如果系统传递函数是自下而上表示的，则系统传递函数是这些公共基本元素的乘积。这些典型基本元素表示的链接称为典型链接。所有复杂的系统都可以由几个典型的环组成。具有相同基本元素传递函数的元件可以是不同的物理元件，但它们都具有相同的行为规律。如传递函数的表达式所示，传递函数的基本元素是比例、积分、微分、惯性、振动和延迟链接等。l .比例链接，也称为比例链接，比例链接是输出量与输入量之间的关系固定的比例关系。也就是说，输出量可以按照一定的比例关系重新生成输入量，而不会失真。时间区域的代数方程式为c (t)=kr (t) t0表示式中的k是比例系数或传递系数，有时也称为放大系数，因此比例连结的传递函数为：L-transition C(S)=KR(S)，不存在完全理想的比例环。使用一些系统作为比例环是理想化的方法。2 .惯性链接，也称为非周期性链接，可以用以下微分方程来描述输入和输出之间的关系。表达式的K比例系数。T惯性连接的时间常数，其输出值跟随输入值的变化，L-转换TSC(S) C(S)=KR(S)传递函数g (s)=c (s)/r (s)=，对于积分链接，输出量与输入量的积分成正比，系数为k。积分链接的传递函数为，积分链接的动态方程为，积分链接有零极点。换句话说，极位于s平面的座标原点。t称为积分时间常数。在单位步长输入中，易于获得输出值的传递函数表达式C(t)=Kt，上述中，只要恒定输入量作用于积分环，输出量就与时间成正比无限增大。4 .振动链接，振动链接的微分方程是：相应的传递函数是：表达式的T小时常数；阻尼系数(衰减比)，0 1。双平面s的位置如图2-8所示，振动链路的传递函数.n=1/t 无阻尼可以替换为自然振动频率。共轭复数剧是：5。微分链接，微分是积分的逆向运算，根据传递函数，微分链接可以分为理想微分链接、一阶微分链接(也称为比例微分链接)和二阶微分链接三种。对应的微分方程是：对应的传递函数是，6。延迟链接，延迟链接也称为纯延迟链接，延迟链接。输出信号比输入信号晚一段时间。也就是说，延迟链路的输出是延迟时间后的输入信号，即样式的纯延迟时间。输入单位步长时，延迟链路的输出响应如图所示。根据拉普拉斯变换的延迟定理，可以传递延迟链接的传递函数是，一般链接数学模型注意事项3点：(1)系统中的一般链接是根据数学模型的共性而不是与系统中使用的组件一一对应而生成的。(2)要分析或设计控制系统，首先必须创建系统或受控对象的数学模型，并与典型连接的数学模型进行比较。将有助于研究和分析系统的动态特性。(3)典型链接的概念仅适用于可以用线性常数数学模型描述的系统。方块图和信号流程图方法是自动控制系统的两种图形研究方法，是分析系统的有力工具。I .方块图的基本概念，1 .控制系统的框图，称为块或结构图，是系统中每个组件特性、系统结构和信号流的图形表示。如上图所示，将系统或链接表示为框。方框图的一端有输入信号r(t)，另一端有经过系统或链接后的输出信号c(t)，图中的箭头指示信号的传送方向。在方框中，系统或环可以用文字表示，也可以用表示环或系统输出和输入信号的拉普拉斯变换的比率-传递函数填充，这是更一般的方块图。(1)“框”(BlockDiagram):表示从输出到单向传输的函数关系。，ii .方框图元素，(2)比较点(合成点、复合点)SummingPoint通过加上或减去两个或多个输入信号进行比较的元件。“”表示相加，“-”表示相减。请不要省略“”号。(3)分支点(引出点、测量点)BranchPoint测量或引出信号的位置，(4)信号线：带箭头的直线，箭头指示信号的流向，并在直线旁边显示信号的时间函数或图像函数。前向过程，函数假定N(s)=0，打开反馈后输出C(s)和R(s)的比率。反馈环路传递函数等于N(s)=0，假定主反馈信号B(s)和输出信号C(s)的比率的错误E(s)。iii .一些基本概念和术语，开环传递函数Open-loopTransferFunction假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与错误信号E(s)的比率。如上所述，系统开环传递函数等于正向通道的传递函数和反馈通道的传递函数的乘积。闭环传递函数closed-loopb transfer function 假定N(s)=0，输入信号C(s)和输入信号R(s)的比率。诱导：向右移动并清理，因此*，错误传递函数假设N(s)=0，错误信号E(s)与输入信号R(s)的比率。* *，可以使用公式* *直接使用：假定输出与扰动传递函数R(s)=0，*，G2 (s)，假定错误与扰动传递函数R(s)=0，使用公式* *注意：由于n (s)极性的随机性，在查找E(s)时使用N(s)产生的错误不可用，(1)考虑载荷效应，分别列出系统各元部分的微分方程或传递函数，并显示为方框。(2)根据每个组件的信号流，通过用信号线依次连接每个组件，可以获得系统的框图。系统方块图也是系统数学模型的表示。iv .绘制方块图，解决方案：根据kiRChhoff电压定律和电容元素性质，可以转换拉氏，范例1:绘制以下RC电路的方块图。图(b)和(c)的组合表示图(d)，图(d)是相应的主RC网络的框图。1/R，1/SC，-示例2:绘制以下R-C网络的框图：分析：如图2-21所示，下一级R2-C2网络是上一级R1-C1网络的负载，影响上一级R1-C1网络的输出电压，这就是负载效果。解法：(1)根据电路清理列示方程式，以建立相应的拉普拉斯转换，或直接绘制该电路的运算电路图(b)。(2)根据列出的4个公式制作相应的方块图。(3)根据信号流依次连接每个框。示例2，图2-22所示，在此极R-C网络之间，输入阻抗大，输出阻抗小的绝缘放大器访问。此电路的方块图如图(b)所示。方块图的等效转换对应于图块图的数学方程式运算。常用的方块图等效转换方法可归纳为两类。连接；连接。信号分支点或相位点的等效移动。方块图转换是简单的代数运算，因为方块图转换需要遵循转换前后数学关系保持不变的原则，方块图转换是等价转换，传递函数和变量的方程是代数方程。连接、并行和反馈连接。方块图的等效转换，1 .链路连接，特性：之前的链路的输出信号是下一链路的输入信号。下图显示了3链