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1,第五节高阶导数公式,一、高阶导数公式,二、柯西不等式与刘维尔定理,三、小结与思考,2,定理,设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D,内解析，,则f(z)在D内有各阶导数，,且,证,即证对D内任一点z,有,由柯西积分公式得,一、高阶导数公式,3,从而,4,即存在正,数M,使得|f()|M.,则有|z|d(C).,5,则有z+zD.,从而对于C上任一点，有,所以,6,所以当z0时，,即,因为z为D内任一点，所以n=1时，定理成立.,7,利用数学归纳法可证,推论：,设f(z)在复平面上的区域D内处处解析，则,f(z)在D内具有各阶导数，,并且它们也在D内解析.,8,例1,解,9,10,例2,解,11,12,根据多连通区域的柯西积分定理,13,14,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,15,16,课堂练习,答案,17,例4,解,18,圆|z|=r内有z=0,z=1两个奇点，,在C内分别以z=0,z=1为心作小圆C1和C2,则,19,在C内分别以z=0,z=1以及z=2为心，,作小圆C1，C2，C3，则,20,例5,证明,其中C是围绕原点的闭曲线.,证,由于f()在复平面上解析，则,21,而,所以,22,二、柯西不等式与刘维尔定理,柯西不等式,设f(z)在圆|za|R内解析,|f(z)|M(R),则有,且,证,由高阶导数公式有,23,即,24,刘维尔定理,有界整函数f(z)必为常数.,证,设|f(z)|的上界为M,z0为复平面上的任意一点，,f(z)在C:|z-z0|R上解析，,上式对一切R均成立,让R+,而z0是,复平面上任一点,故f(z)在复平面上的导数为0.,所以f(z)必为常数.,R为任意正整数，,则,整个复平面上解析,25,高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.,高阶导数公式,作业：P5011,12,14,三、小结与思考,26,思考：用刘维尔定理证明代数学基本定理.,代数学基本定理,在复平面上,非常值n次多项式,至少有一个零点.,提示：用反证法，假设p(z)在复平面上无零点，,然后证明1/p(z)是有界整函数.,27,放映结束，按Esc退出.,证明1/p(z)是有界的:,(1)|z|r，,(2)|z|r，,1/p(z)连续,
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