证明(二、三)复习学案

第一章 证明（二）复习一、本书作为证明的公理：1、平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等。2、平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。3、SAS4、ASA5、SSS6、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。7、等式的性质：（基本性质1，2；等量代换等）8、不等式的性质：9、两点确定一条直线10、两点之间，线段最短二、等腰三角形： 1、定义： 2、性质：（1）等边对等角 已知： 求证： 证明：（2）等腰三角形三线合一（为什么？）还有很多，如：a) 等腰三角形两腰上的高相等。b) 等腰三角形两腰上的中线相等。c) 等腰三角形两底角平分线相等。d) 等腰三角形底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高。 3、判定：（1）定义： （2）等角对等边：经典课本练习已知：如图，AD是ABC的角平分线，且BD=CD，求证：AB=AC 4、等边三角形：（1）定义：（2）已知：如图，ABC是等边三角形，点M、N分别在BC、AC上，且BM=CN，AM与BN相交于点O，求BOM的度数。（3）如图，点B、C、E在同一直线上，ABC和DCE都是等边三角形，AE与BD相交于点Q，AC、BD相交于点M，AE与CD相交于点N。求证：a) BCDACE b) ACNBCM，DCMECN c)AQB=60O d) MCN是等边三角形三、直角三角形1、定义：2、性质：（1）两锐角互余（2）勾股定理（3）30o角所对的直角等于斜边的一半（4）斜边上的中线等于斜边的一半a)三个正方形如图放置，面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系为_。b)如图，AC为正方形ABCD的对角线，DEAC，且CE=AC，求ACE的度数。c)如图，BE、CD是ABC的高，点O是BC的中点，点G是DE的中点，求证：OGDEd)如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90o，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DEDF，求证：DE=DF联想四、线段的垂直平分线1、定义： 2、性质定理： （1）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于点D若BAC=80o，求ADC的度数若AB=a，BC=b，求ADC的周长 （2）已知：直线L与L同侧的A、B两点用直尺和贺圆规在L上求作点P，使PA=PB（3）已知直线L和L异侧两点，A、B，在直线上求一点P，使PA+PB最小。（4）已知直线L和L同侧两点A、B，在直线L上求一点P，使PA+PB最小。（5）5P31做一做。（6）已知线段a、b，求作：菱形ABCD，使AC=a，BD=b（7）已知线段a、b、h，求作：等腰梯形ABCD，使ADBC，AD=a，BC=b，高AH=h。 3、判定定理：已知：如图AB=AC，DB=DC，点P在直线AF上。求证：BF=CF五、角平分线 1、定义；尺规作法 2、性质定理：（1）如图，在梯形ABCD中， ADBC，A=B=90o，ADC和BCD的平分线交于点E，且点E在AB上。求证：DC=AD+BC若A90o，上面的结论还成立吗？若成立请给出证明。（2）如图，AD是ABC的角平分线，且AB=AC+CD求证：C=2B 3、判定定理：四边形第一节 平行四边形考点导航1平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做_2平行四边形的性质(1)平行四边形的_相等，_相等(2)平行四边形的对角线互相_(3)平行四边形是_对称图形3平行四边形的判定(识别)(1)定义：两组对边分别_的四边形是平行四 (2)两组对边分别_的四边形是平行四边形(3)两条对角线_的四边形是平行四边形(4)一组对边_的四边形是平行四边形(5)两组对角分别_的四边形是平行四边形考点例析1、如图， ABCD的对角线相交于点O，且ABBC，过O点作OEAC交BC于E，如果ABE的周长为b，那么 ABCD的周长是( ) AbB1.5bC2bD3b2、如图所示， ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点 求证：(1) AFDCEB； (2)四边形AECF是平行四边形3、如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：EBF=FDE4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB/C和ABC关于AC所在的直线对称，AD和B/C相交于点O，连接BB/.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：AB/OCDO5、如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=4，则CEF的周长为（ ） A8B9.5C10D11.56、请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：ADBCAB=CDA=CB+C=180o已知：在四边形ABCD中，_；求证：四边形ABCD是平行四边形第二节 矩形、菱形和正方形考点导航1矩形的基本性质 (1)具有_所有的性质； (2)矩形的四个角都是_；(3)矩形的对角线_ ； (4)矩形既是_对称图形，又是_对称图形2菱形的基本性质 (1)具有_所有的性质； (2)菱形的_相等； (3)菱形的两条对角线_，每条对角线_； (4)菱形既是_对称图形，又是_对称图形3正方形的基本性质 (1)正方形具有平行四边形、_、_的所有性质； (2)正方形的四个角都是_，四条边都_； (3)正方形的两条对角线_，并且互相_，每条对角线平分_； (4)正方形既是_对称图形；又是_对称图形 4矩形的判定(识别) (1)两条对角线_的平行四边形是矩形； (2)有一个角是_的平行四边形是矩形； (3)_是直角的四边形是矩形5菱形的判定(识别) (1)_的平行四边形是菱形； (2)_都相等的四边形是菱形； (3)对角线_的平行四边形是菱形； (4)对角线互相垂直且_的四边形是菱形6正方形的判定(识别) (1)有一组邻边相等，并且有_的平行四边形是正方形； (2)有一组_的矩形是正方形； (3)有一个角是_-的菱形是正方形； (4)对角线_的矩形是正方形； (5)对角线_的菱形是正方形考点例析：1、 如图，矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为_。2、如图，在ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DECA，DFBA，下列四种说法：四边形AEDF是平行四边形；如果BAC90o，那么四边形AEDF是矩形；如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；如果ADBC且ABAC，那么四边形ACDF是菱形其中，正确的有_(只填写序号)3、如图，四边形ABCD是正方形点E是边BC的中点AEF90 o，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F求证：AEEF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AMEC，易证AMEECF，所以AEEF图4图54、如图4，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为_。5、如图5，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D/重合，若BC8，CD6，则CF=_6、四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 (1)请判断四边形EFGH的形状?并说明为什么 (2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?7、若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点如图所示的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM、BM，AMB90o，则点M为直角点 (1)若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系?并说明理由； (2)若点M、N分别为矩形ABCD边CD、AB上的直角点，且AB4，BC，求MN的长8、如图，把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB=3 cm，BC=5 cm，则重叠部分DEF的面积是_cm29、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_cm(结果不取近似值)10、四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB、BC的中点，AEF90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F (1)证明：BAEFEC (2)证明：AGEECF (3)求AEF的面积第三节 梯形考点导航1等腰梯形的性质 (1)等腰梯形同一底上的_相等 (2)等腰梯形的两条_相等2梯形中位线的性质 梯形的中位线_，并且等于上、下两底和的_。3等腰梯形的判定(识别) (1)两腰_的梯形是等腰梯形 (2)同一底上的两个角_的梯形是等腰梯形 (3)对角线_的梯形是等腰梯形4梯形的面积；梯形的中位线长度_。考点例析：1、 如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADBC，对角线ACBD，垂足为O若CD3，AB5，则AC的长为( )A4B4C3D22、如图，已知在梯形ABCD中，DCAB，ADBC，BD平分ABC，A60o(1)求ABD的度数；(2)若AD2，求对角线BD的长3、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDE，AFDC，E、F两点在边B