高数数列的极限

1,第一章,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,2,这个概念,贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要,作用。,因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表,达。,微分、积分都可用极限运算来描述。,掌握极限的,概念和运算很重要。,极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产,生的。,变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是,经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对,也就是说它在变化的过程中无限的接近,于某一确定的常数。,极限概念前言,稳定的状态。,极限概念是高等数学中最基本的概念，,3,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,播放,刘徽,正六边形的面积A1,正十二边形的面积A2,1、割圆术：,一、数列,4,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,概念的引入,5,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,概念的引入,6,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,7,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,8,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,9,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,10,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,11,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,12,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,13,之半，如此分割下去问：,共去棒长多少？,解：,把所去之半排列起来：,此是公比为,的等比数列,引例2：,第一次去其一半，,第二次再去所余,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,一尺之棰，,共去棰长,14,等比数列的前n项和的公式,设等比数列,等比数列的前n项之和，,上式两边同时乘以q有：,上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：,15,1、数列的定义,依次排列的一列无穷多个数：,称为数列，,其中每一个数称为数列的项，,第n项xn,称为数列的一般项（或通项），,下标,称为数列的项数。,或,按照一定的法则，,定义1,数列简记为,16,可看作一动点在数轴,上依次取,数列对应着数轴上一个点列，,数列是整标函数,17,2、数列的性质,（1）有界性,设已知数列,若存在M0,对于一切n都有,则称数列,是有界的；,否则，若不存在这样的正数M，则称,是无界的。,例如：数列,都是有界的，,而数列,是无界的。,18,(2）单调性,则称此数列是单调减少的。,单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。,例如:,是单调增加数列;,是单调减少数列,其特点是,数列的点作定向移动，,单增向右，,单减向左。,反之若,则称此数列是单调增加的；,若,的项xn随着项数n的增大而增大，即满足,19,数学语言描述:,二、数列极限的定义,引例.,设有半径为r的圆,逼近圆面积S.,如图所示,可知,当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),当nN时,用其内接正n边形的面积,总有,20,引例,在1与1之间跳动,观察可见：,的变化趋势只有两种：,不是无限地接近,某个确定的常数，,就是不接近于任何确定的常数。,由此，,得到数列极限的初步定义如下：,观察下列数列的变化趋势,21,定义2,若当,时，一般项,无限地接近于某个,则称A为数列,的极限，记作,或,（读作n趋向无穷大时，,趋向于A）.,若当,时，,不接近于任何确定常数A,确定的常数A,则称数列,没有极限。,22,而,无极限,我们称有极限的数列为收敛数列，,无极限的数列为发散数列。,例如：,23,例如,趋势不定,收敛,发散,24,及常数a有下列关系:,当nN时,总有,记作,此时也称数列收敛,否则称数列发散.,即,或,则称该数列,的极限为a,若数列,为了精确的反映,接近a的程度与n之间的关系给出,定义3,25,为具体的说明,几何解释:,考察一般项为,数列，,当n无限增大时xn与2的距离无限的小.,当nN时,总有,欲使,26,由,取,只要,即从10001项起以后的所有点,与2的距离小于,即有,取,只要,即从101项起以后的所有点,与2的距离小于,即有,27,主讲教师:王升瑞,高等数学,第三讲,28,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N与有关,但不唯一.,不一定取最小的N.,说明:,取,43,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当nN时,就有,故,的极限为0.,44,证：,只要,注：1、化简,（必要时适当地放大）,2、用倒推法得到与n,有关的一系列不等式,例4求证,即当,时，恒有,45,三、收敛数列的性质,证:用反证法.,及,且,取,因,故存在N1,从而,同理,因,故存在N2,使当nN2时,有,1.收敛数列的极限唯一.,使当nN1时,假设,从而,46,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,47,2.收敛数列一定有界.,证:设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明:此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛.,有,数列,48,3.收敛数列的保号性.,若,且,时,有,证:,对a0,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),49,*,4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,50,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的,极限,例如，,发散!,则原数列一定发散。,说明:,51,内容小结,1.数列极限的“N”定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,52,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,53,刘徽(约225295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,54,柯西(17891857),法国数学家,他对数学