普通高中数学参赛课件《基本不等式》(22)_第1页
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3.4基本不等式：,高中数学必修5（人教版）,一、情境创设导入课题,第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标,赵爽：弦图,a,b,b,a,a,b,A,B,C,D,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,如果，我们用分别代替中的会得到怎样的不等关系？,二、自主探究推导公式,你能分别从“数”和“形”两个角度推导上式吗？,证明：因为所以即时，当且仅当时，等号成立,作差法,分析法,执果索因,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD则CD=,半径为.,CD小于或等于圆的半径.,用不等式表示为,上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立.,几何意义：半弦不大于半径.,结论：,一般写作：,基本不等式,文字表述：两个正数的几何平均数不大于算术平均数。,三、互动探究火眼金睛,小试牛刀,判断下列推理是否正确：（1）若，则（2）若，同号时，则（3）若，则（4）若，则,1.已知，且，则的最小值是_.解：当且仅当m=n=9时，取得最小值是18,例题精讲,积定和最小,结论：若x,y皆为正数，则当xy的值是常数时，当且仅当x=y时，x+y有最小值.,2.若，且，则的最大值是_.解：即当且仅当a=b=9时,取得最大值81,和定积最大,结论：若x,y皆为正数，则当x+y的值是常数时，当且仅当x=y时，xy有最大值.,利用基本不等式求最值的条件：,一正,二定,三相等,a与b为正实数,积定和最小和定积最大,若等号成立，a与b必须能够相等,大家来找茬，错在哪里？,（1）已知，求的最小值。解：即，函数的最小值是2,不满足“一正”,（2）已知函数求函数的最小值。解：当且仅当，即时，函数的最小值是6.,不满足“二定”,（3）已知，求的最小值。解：原式有最小值4.当且仅当时，即时，等号成立。,不满足“三相等”,五、反思总结培养能力,你会了吗？,1.基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.2.利用基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”,课堂小结,1.设
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