圆切线证明的方法-

.切线证明法切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论 : 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线的性质定理的推论 : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长定理 : 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线， 如果已知直线过圆上的某一个点， 那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1】如图 1，已知 AB 为O 的直径， 点 D 在 AB 的延长线上，BDOB，点 C 在圆上， CAB30o求证：DC 是O 的切线思路：要想证明 DC 是O 的切线，只要我们连接 OC，证明OCD90o即可证明：连接 OC，BCC AB 为O 的直径， ACB90oCAB30o，BC12ABOBAO B DBDOB，BC12ODOCD90o图 1DC 是O 的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意 “经过半径的外端 ”和“垂直于这条半径 ”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线【例 2】如图 2，已知 AB为O 的直径， 过点 B 作O 的切线 BC，连接 OC，弦 ADOC求证：CD 是O 的切线C 思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线D是圆的切线 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理， 又要运用圆的切线的判定定理欲证明 CD 是O 的切线，只要证明241 3A BOODC90o即可图 2证明：连接 ODOCAD，13，24.OAOD， 1 2 34又 OB OD，OCOC， OBC ODC OBC ODCBC 是 O 的切线， OBC90o ODC90oDC 是 O 的切线【例 3】如图2，已知 AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D求证： AC 平分 DAB思路：利用圆的切线的性质 与圆的切线垂直于过切点D C的半径证明：连接 OC123A B OCD 是 O 的切线， OCCD图3ADCD， OCAD 1 2OCOA， 13 23AC 平分 DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时， 切线的位置一般是确定的 在解决有关圆的切线问题时， 辅助线常常是连接圆心与切点， 得到半径， 那么半径垂直切线【例 4】 如图1，B、C 是 O 上的点，线段AB 经过圆心 O，连接 AC、BC，过点 C 作 CDAB 于 D，ACD=2BAC 是 O 的切线吗？为什么？解： AC 是 O 的切线理由：连接 OC，OC=OB， OCB=B COD 是BOC 的外角， COD=OCB+B=2B ACD=2B， ACD=CODCDAB 于 D， DCO+COD =90 DCO+ACD =90即 OCACC 为 O 上的点，AC 是 O 的切线【例 5】 如图2，已知 是 ABC 的外接圆， AB 是 的直径， D 是 AB的延长线上的一点， AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是 O 的切线证明：连接OC，则OA=OC， CAO=ACO，AC 平分 EAB， EAC=CAO=AC，AECO，又 AEDE，CODE，DE 是 O 的切线二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段， 证明此垂线段的长等于半径【例 6】 如图 3，AB=AC ，OB=OC， O 与 AB 边相切于点 D证明 :连接OD，作 OEAC，垂足为 EAB=ACO, B= OCAO为BAC角平分线， DAO= EAO O 与 AB 相切于点 D， BDO=CEO=90 AO=AO ADO AEO，所以 OE=ODOD 是 O 的半径， OE 是 O 的半径 O 与 AC 边相切【例 7】 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证： EF与 O 相切 .证明： 连结OE，AD.AB 是 O 的直径，ADBC.又AB=BC ，3=4. BD=DE， 1=2.又OB=OE，OF=OF，BOF EOF（SAS）.OBF=OEF.BF 与 O 相切，OBBF.OEF=900.EF 与 O 相切.说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例 8】如图， AD 是 BAC 的平分线， P为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证： PA与 O 相切 .证明一： 作直径 AE，连结EC.AD 是 BAC 的平分线， DAB= DAC.PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB ， 1=B.又 B=E， 1=EAE 是 O 的直径，ACEC， E+EAC=900.1+EAC=900. 即 OAPA.PA与 O 相切 .证明二：延长 AD 交 O 于 E，连结OA，OE.AD 是 BAC 的平分线， BE=CE，OEBC. E+BDE=900.OA=OE， E=1.PA=PD， PAD=PDA.又 PDA=BDE,0 1+PAD=90即 OAPA.PA与 O 相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 .【例 9】如图， AB=AC ，AB 是 O 的直径， O 交 BC 于 D，DM AC 于 M求证： DM 与 O 相切.证明一：连结OD.AB=AC ，B=C.OB=OD，1=B.1=C.ODAC.D DM AC，DM OD.DM 与O 相切证明二： 连结 OD，AD.AB 是O 的直径，ADBC.又AB=AC,1=2.DM AC，02+4=90OA=OD ，C1=3.3+4=900.即 ODDM.DM 是O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知 .【例 10】 如图，已知： AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=300，BD=OB，D 在 AB 的延长线上 .求证：DC 是O 的切线证明： 连结 OC、BC.OA=OC，A=1=300.BOC=A+1=600.又 OC=OB， OBC 是等边三角形 .OB=BC.DOB=BD ，OB=BC=BD.OCCD.DC 是 O 的切线 .说明： 此题解法颇多，但这种方法较好.2=OD OP. 【例 12】 如图， AB 是 O 的直径， CDAB，且 OA求证： PC是 O 的切线 .证明：连结OCOA2=OD OP，OA=OC，OC2=OD OP，OCODOPOC.又 1=1， OCP ODC. OCP=ODC.CDAB， OCP=900.PC 是 O 的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的【例 13】 如图，ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F.求证： CE 与CFG 的外接圆相切 .分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结OC，证明 CEOC 即可得解.证明： 取 FG 中点 O，连结OC.ABCD 是正方形，BCCD，CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心 .OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD ，DE=DE，0， ADE= CDE=45ADE CDE（SAS） 4=1， 1=3. 2+3=900, 1+2=900.即 CEOC.CE 与CFG 的外接圆相切二、若直线 l 与 O 没有已知的公共点，又要证明 l 是 O 的切线，只需作OAl，A 为垂足，证明 OA 是 O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例 14】 如图， AB=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与 D 相切.证明一：连结DE，作 DFAC，F 是垂足 .AB 是 D 的切线，DEAB.DFAC，DEB=DFC=900.AB=AC ，B=C.又BD=CD ，BDE CDF（AAS）DF=DE.F 在 D 上.AC 是 D 的切线证明二：连结DE，AD，作 DFAC，F 是垂足AB 与 D 相切，DEAB.AB=AC ，BD=CD ，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F 在 D 上.AC 与 D 相切.说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.0. 【例 15】 已知：如图，AC，BD 与 O 切于 A、B，且