数学选修2-3~1.2排列(优限法、捆绑法、插空法)的运用_第1页
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文档简介

1.2排列排列的简单应用,1、7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?,解:问题可以看作:7个元素的全排列A775040,7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?,解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66=720,7位同学站成一排,其中甲不站在首位,共有多少种不同的排法?,解一:甲站其余六个位置之一有A61种,其余6人全排列有A66种,共有A61A66=4320。,解二:从其他6人中先选出一人站首位,有A61,剩下6人(含甲)全排列,有A66,共有A61A66=4320。,解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。,解题示范现有7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?,解:根据分步计数原理:第一步甲、乙站在两端有A22种;第二步余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22A55=240种排列方法.,A55,A55,A22,A22,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?,解:第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法,所以一共有A52A552400种排列方法,归结(1):对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法)。,优限法,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A66A221440种拓展:甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?解:方法同上,一共有A55A33720种,解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有A52种方法;将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法.则这样的排法一共有A52A44A22960种方法,甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?,解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2A55种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A66-2A55)A22=960种方法,归结2:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).,解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有A41A55A22960种方法,捆绑法,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?解法一:(排除法)A77-A66A22=3600解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A62种方法.,则共有A55A62=3600种方法,乙,甲,拓展:甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?解:先将其余四个同学排好有A44种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法,所以一共有A44A531440种归结(3):对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑),插空法,某些元素不能在或必须排列在某一位置;某些元素要求连排(即必须相邻);某些元素要求分离(即不能相邻);,某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;,某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”。,有特殊元素或

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