自动控制原理第2章

,第2章控制系统的数学模型,2.1引言2.2微分方程2.3传递函数2.4结构图及其等效变换2.5信号流图与梅逊公式,第2章控制系统的数学模型,2.6闭环系统的传递函数2.7脉冲响应函数2.8MATLAB中数学模型的表示本章小结习题,对控制系统进行分析和设计时，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。它可以使我们避开各具体系统不同的物理特性，在一般意义下研究控制系统的普遍规律。,2.1引言,控制系统的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。静态数学模型是在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的数学表达式；动态数学模型是在动态过程中(即变量各阶导数不为零)描述诸变量动态关系的数学表达式。分析和设计控制系统时，常用的动态数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图和脉冲响应函数等数学模型的建立及应用。,建立控制系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。解析法是指当控制系统结构和参数已知时，根据系统及元件各变量之间所依据的物理规律或化学规律，分别列写出各变量间的数学表达式的方法。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。,无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似的数学模型。本章主要采用解析法建立系统的数学模型，关于实验法将在后续章节中进行介绍。,微分方程是描述各种控制系统动态特性的最基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以及非线性微分方程的线性化问题。,2.2微分方程,2.2.1线性系统微分方程的建立用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤如下：(1)根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定系统和各元件的输入、输出变量，并根据需要引入一些中间变量。(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有系统或元件输入变量和输出变量的微分方程。,(4)标准化。即将与输入有关的各项放在方程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物理意义的形式。,图2-1RLC无源网络,【例2-1】试列写如图2-1所示的RLC无源网络的微分方程。ur(t)为输入变量，uc(t)为输出变量。解设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为,消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入与输出之间关系的微分方程为(2-1)令T1L/R，T2RC均为时间常数，则有(2-2),图2-2弹簧-质量-阻尼器机械位移系统,【例2-2】图2-2是弹簧-质量阻尼器组成的机械位移系统。其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。解在外力F(t)的作用下，若弹簧的弹力和阻尼器阻力之和与之不平衡，则质量m将有加速度，并使速度和位移改变。根据牛顿第二定律有(2-3),其中：F1(t)kx(t)为弹簧恢复力，其方向与运动方向相反，大小与位移成比例；为阻尼器阻力，其方向与运动方向相反，大小与速度成正比。将F1(t)和F2(t)代入式(2-3)中，经整理后即得该系统的微分方程为(2-4),将方程两边同除以k，式(2-4)又可写为(2-5)令为时间常数；为阻尼比；为放大系数，则式(2-5)为(2-6),比较式(2-2)和式(2-6)可以发现，当两方程的系数相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。因此，这就有可能利用电气系统来模拟机械系统，进行实验研究。这也说明，利用数学模型可以撇开具体系统的物理属性，对系统进行普遍意义的分析研究。,【例2-3】试列写图2-3所示的枢控他励直流电动机系统的微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速为输出量。Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机轴上的总负载转矩。解设E为电机旋转时电枢两端的反电动势，ia为电枢电流，M为电动机的电磁转矩，则电枢回路电压平衡方程为(2-7),图2-3枢控他励直流电动机系统,反电动势方程为ECe(2-8)式中：Ce为电动机的反电势系数。在理想空载条件下，电动机的电磁转矩方程为MCmia(2-9)电动机轴上的动力学方程为(2-10)式中：J为转动部分折合到电动机轴上的转动惯量。,将式(2-7)式(2-10)中的中间变量E、ia和M消去，整理得电动机在电枢电压控制下的微分方程为(2-11)令为电枢回路的电磁时间常数；为电枢回路的机电时间常数；为静态增益；为传递系数，则式(2-11)可进一步写为(2-12),【例2-4】试列写图2-4所示闭环调速控制系统的微分方程。解控制系统的被控对象是电动机，系统的输出量是电机转速，输入量是给定电压ug。根据系统结构，可将该系统分为运放、运放、功率放大器、电动机和测速发电机五部分，并分别列写它们的微分方程。(1)运放：ug为输入量，u1为输出量。(2-13)式中：K1R2/R1是运放的放大系数。,图2-4闭环调速控制系统,(2)运放：u1为输入量，u2为输出量。(2-14)式中：K2R4/R3是运放的放大系数；R3C是微分时间常数。(3)功率放大器：功率放大环节是晶闸管整流装置，u2为输入量，ua为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后和非线性因素时，二者的关系为uaK3u2(2-15)式中：K3是功放的放大系数。,(4)电动机：由式(2-12)可知，电枢电压ua和电动机的转速之间的关系为(2-16)(5)测速发电机：测速发电机的输出电压uf与其转速成正比，即ufKf(2-17)式中：Kf是测速发电机的比例系数。,合并方程式(2-13)(2-17)，消去中间变量u1、u2、ua和uf，经整理后得(2-18),令KKuK3K2K1，K0KuK3K2K1KfKKf，则式(2-18)为(2-19)式(2-19)表明：电机转速控制中，电机的转速既与给定作用ug有关，又和扰动作用Mc有关。,当ug为变量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统，Mc一般不变。此时微分方程为(2-20)当ug为常值，Mc为变化量时，系统为恒值调速系统。此时的微分方程为(2-21),2.2.2非线性特性的线性化前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，即描述它们的数学模型都是线性微分方程。然而，若对系统的元件特性尤其是静态特性进行严格的考察，不难发现，几乎程度不同地都存在着非线性关系。因此，描述输入、输出关系的微分方程一般是非线性微分方程。应当指出的是，非线性微分方程的求解是相当困难的，且没有通用解法。因此，工程中常采用线性化的方法对非线性特性进行简化，即如果所研究的问题是系统在某一静态工作点附近的性能，可以在该静态工作点附近将非线性特性用静态工作点处的切线来代替，使相应的非线性微分方程用线性微分方程代替，这就是非线性特性的线性化，所采用的方法通常称为“小偏差法”或“小信号法”。,设具有连续变化的非线性函数可表示为yf(x)，如图2-5所示。若取某平衡状态A为静态工作点，对应有y0f(x0)。当xx0x时，有yy0y，如B点。设函数yf(x)在(x0，y0)附近连续可微，则可将函数在(x0，y0)附近用泰勒级数展开为,图2-5小偏差线性化示意图,当变化量xxx0很小时，可忽略上式中二次以上各项，则有(2-22)再用增量y和x表示，则式(2-22)变为yKx(2-23)式中：是比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。式(2-23)是非线性函数yf(x)的线性化表示。,对于具有两个自变量的非线性函数yf(x1，x2)，同样可在某静态工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为,令yyf(x10，x20)，x1x1x10，x2x2x20。当x1和x2很小时，忽略二阶以上各项，可得增量化方程为yK1x1K2x2(2-24)式中：，是在静态工作点处求导得到的常数。,【例2-5】设铁芯线圈如图2-6(a)所示，其磁通(i)曲线如图2-6(b)所示。试列写以ui为输入量，i为输出量的线性化微分方程。解由基尔霍夫定律可写出回路方程为uiuLRi(2-25)而(2-26),图2-6铁芯线圈及磁通(i)曲线,式中：d(i)/di是线圈中电流i的非线性函数，因此将式(2-26)代入式(2-25)得到(2-27)为非线性微分方程。设铁芯线圈原来处于某平衡点(ui0，i0)，则ui0Ri0；且在工作过程中电压和电流只在平衡点附近作微小变化：uiui0ui，ii0i，则0。设(i)在i0的邻域内连续可导，这样可将(i)在i0附近展开为泰勒级数：,(2-28)式中：。将式(2-27)代入式(2-26)中并代入ui和i的值，得,即略去增量符号，则有(2-29)式(2-29)便是铁芯线圈电路非线性特性的线性化方程,应当指出，利用小偏差法处理线性化问题时，应注意以下几点：(1)线性化方程中的参数，如上述的K、K1、K2均与选择的静态工作点有关，静态工作点不同，相应的参数也不相同。因此，在进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。(2)当输入量变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差也较大。因此，只有当输入量变化较小时才能使用。,(3)若非线性特性不满足连续可微的条件，则不能使用本节介绍的线性化处理方法。这类非线性称为本质非线性，其分析方法将在第8章中讨论。(4)线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。为了简化方程，增量的表示符号“”一般可略去，形式与线性方程一样。,2.2.3微分方程的求解建立微分方程的目的之一是为了用数学方法定量地研究系统的动态特性。给出输入信号r(t)，分析输出响应c(t)的方程，就是解微分方程。线性定常系统的微分方程可用经典法、拉氏变换法或计算机求解。其中拉氏变换法可将微积分运算转化为代数运算，且可查表，简单实用。本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程。,用拉氏变换法求解微分方程一般应遵循以下步骤：(1)考虑初始条件，将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程。(2)解代数方程，求出C(s)表达式，并将C(s)展开成部分分式形式。(3)进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的全解c(t)。,图2-7RC网络,【例2-6】如图2-7所示RC网络，S闭合前电容上已有电压U0(U0U)，即Uc(0)U0，求S闭合后的uc(t)。解设回路电流为i(t)，S闭合瞬间，ur(t)U1(t)。由基尔霍夫定律可得系统微分方程为将上式进行拉氏变换得,则将上式进行拉氏反变换，得到微分方程的解为(2-30),在式(2-30)中，方程右边前两项是在零初始条件(或状态)下，网络输入电压产生的输出分量，称为零状态响应；后一项是由于系统受到初始状态的影响，表现为非零的初始条件(或状态)所确定的解，与输入电压无关，称为零输入响应。当初始条件全为零时，则零输入响应为零。研究系统的动态特性一般可只研究零状态响应。同时，方程右边第一项是电路的稳态解，也称为稳态响应，它是在假定系统是稳定的并在阶跃输入下令s0所得的部分解；其余随时间衰减为零的另一部分解，称为暂态解，也称为暂态响应；稳态响应将趋近于某常数(有差)或零(无差)。对稳态响应的分析可以确定系统的稳态精度，对暂态响应的分析则可以确定系统的暂态过程。,传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，也是经典控制理论中两大分支根轨迹法和频率法的基础。利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。,2.3传递函数,2.3.1传递函数的定义和性质1.定义对于线性定常系统来说，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比定义为系统的传递函数。通常用G(s)或(s)表示。设线性定常系统由下述n阶线性微分方程描述：(2-31),式中：r(t)和c(t)为系统的输入量和输出量。当初始条件为零时，对式(2-31)进行拉氏变换得于是，由定义得系统的传递函数为(2-32)利用传递函数可将系统输出量的拉氏变换式写成C(s)G(s)R(s)(2-33),【例2-7】求图2-1所示RLC网络的传递函数。解由式(2-1)知RLC网络的微分方程为当初始条件为零时，对上述方程中各项求拉氏变换得由传递函数定义，可求得网络传递函数为(2-34),【例2-8】求图2-4所示闭环调速控制系统的传递函数。解由式(2-19)知，闭环调速控制系统的总微分方程为由于传递函数只适用于单输入、单输出情况，所以，当Mc0时，系统的传递函数为,(2-35)当ug0时，系统的传递函数为(2-36),2.性质(1)传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变函数的所有性质。对于实际的物理系统，通常mn，且所有系数均为实数。(2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量r(t)的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。(3)传递函数是描述线性系统动态特性的一种数学模型，而形式上和系统的动态微分方程一一对应，但只适用于线性定常系统且初始条件为零的情况。,(4)传递函数是系统的数学描述，物理性质完全不同的系统可以具有相同的传递函数。在同一系统中，当取不同的物理量作为输入量或输出量时，其传递函数一般也不相同，但却具有相同的分母。该分母多项式称为特征多项式。令特征多项式等于0，得到系统的特征方程。(5)传递函数是在零初始条件下定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含义：r(t)在t0时才作用于系统，所以在t0时，r(t)及其各阶导数均为零。r(t)加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即c(t)及各阶导数在t0时的值也为零。,3.电网络用复阻抗法求传递函数如前所述，求取传递函数一般要经过列写微分方程、取拉氏变换、考虑初始条件等几个步骤。然而，对于由电阻、电感和电容组成的电网络，在求传递函数时，若引入复数阻抗的概念，则不必列写微分方程，也可以方便地求出相应的传递函数。,由电路原理知：一个正弦量既可用三角函数表示，也可用相量表示。电气元件两端的电压相量与流过元件的电流相量之比，称为该元件的复数阻抗，并用Z表示，即(2-37)R、L、C负载的复数阻抗如表2-1所示。表中同时列出了三种典型电路的有关方程及传递函数。,表2-1R、L、C负载的复数阻抗对照表,可见，传递函数在形式上与复数阻抗十分相似，只是用拉氏变换的复变量s置换了复数阻抗中的j罢了。基于此，在求电网络的传递函数时，首先可把电路中的电阻R、电感L和电容C的复数阻抗分别改写成R、Ls和，再把电流i(t)和电压u(t)换成相应的拉氏变换形式I(s)和U(s)。考虑到在零初始条件下，电路中的复数阻抗和电流、电压相量及其拉氏变换I(s)、U(s)之间的关系应满足各种电路定律。于是，就可以采用普通电路中阻抗串、并联的规律，经过简单的代数运算求解出I(s)、U(s)及相应的传递函数。,用复数阻抗法求取电网络的传递函数是简便、有效的，它既适用于无源网络，又适用于有源网络。,【例2-9】试求图2-8所示RLC无源网络的传递函数。解令Z1RLs为电阻和电感的复数阻抗之和，为电容的复数阻抗。由此可得传递函数为(2-38),图2-8RLC无源网络,图2-9RC有源网络,【例2-10】试求如图2-9所示RC有源网络的传递函数。解因为A点为虚地点，所以i1i2。令Z1R1，则系统传递函数为(2-39),应当指出，在实际的控制工程中，当计算运放电路的传递函数时，一般可不考虑负号问题。负号关系在构成闭环控制系统负反馈的时候再综合考虑。所以，式(2-39)又可以写为(2-40),4.传递函数的其他表示方法1)零、极点表示方法将式(2-32)改写为(2-41),式中：zj为分子多项式的根，称为传递函数的零点；pi为分母多项式的根，称为传递函数的极点；Kgb0/a0称为根轨迹放大倍数或根轨迹增益。,2)时间常数表示方法将式(2-32)改写为(2-42),式中：j、Ti分别为分子、分母多项式各因子的时间常数；Kbm/an为放大倍数或增益。各因子的时间常数和零、极点的关系，以及K和Kg间的关系分别为(2-43)(2-44)(2-45),因为式(2-32)中分子、分母多项式的各项系数均为实数，所以传递函数G(s)如果出现复数零点、极点的话，那么复数零点、极点必然是共轭的。系统的传递函数可能还会有零值极点，设为个，并考虑到零点、极点都有实数和共轭复数的情况，则式(2-41)和式(2-42)可改写成一般表示形式为,(2-46)和(2-47)以上两式中，mm12m2，nn12n2。,2.3.2典型环节及其传递函数自动控制系统是由各种元件组合而成的。虽然不同的控制系统所用的元件不相同，但描述系统动态特性的传递函数均可表示为式(2-47)。为了便于控制系统的分析和设计，通常按数学模型的不同，将系统的组成元件进行归类，分成为数不多的类别。每种类别具有形式相同的传递函数，称为一种典型环节。线性定常系统的典型环节可归纳为比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等几种形式。应该指出，典型环节只代表一种特定的数学模型，而不一定是一种具体的元件。,1.比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。比例环节的微分方程为c(t)Kr(t)式中：K为环节的放大倍数。其传递函数为(2-48)可见，比例环节既无零点也无极点。当r(t)1(t)时，c(t)K1(t)。所以说，比例环节的输出量与输入量成比例，不失真也不延迟。,比例环节的电路原理图和单位阶跃响应曲线如图2-10所示。实际系统中无弹性变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等等都可认为是比例环节。应当指出的是，完全理想的比例环节是不存在的，在一定条件和范围内一些近似的比例环节可认为是理想的比例环节。,图2-10比例环节(a)电路原理图；(b)单位阶跃响应曲线,2.积分环节积分环节又称无差环节，其输出量与输入量之间是积分关系。积分环节的微分方程为其传递函数为(2-49)式中：T称为积分时间常数；K称为积分环节的放大倍数。,可见，积分环节只有一个零值极点。当输入信号为单位阶跃信号时，在零初始条件下，积分环节输出量的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换后，得到积分环节的单位阶跃响应为,上式表明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就随时间成正比地无限增加。图2-11(a)是由运算放大器所构成的积分调节器。积分环节的单位阶跃响应曲线如图2-11(b)所示。,图2-11积分环节(a)电路原理图；(b)单位阶跃响应曲线,3.惯性环节惯性环节又称为非周期环节，该环节由于含有储能元件，因此对突变的输入信号，输出量不能立即跟随输入，而是有一定的惯性。惯性环节的微分方程为其传递函数为(2-50)式中：T为惯性环节的时间常数。可以看出，惯性环节在s平面上有一个负值极点,当输入信号为单位阶跃信号时，在零初始条件下，惯性环节输出量的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换后，得到惯性环节的单位阶跃响应为,图2-12(a)和(b)给出的RC网络和LR回路(电流i作为输出时)都可视为惯性环节。惯性环节的单位阶跃响应曲线如图2-12(c)所示，当时间t(34)T时，输出量才接近其稳态值。时间常数T越大，环节的惯性越大，则响应时间也越长。在实际的工程中惯性环节是比较常见的。,图2-12惯性环节(a)RC网络；(b)LR回路；(c)单位阶跃响应曲线,4.微分环节微分环节又称超前环节。微分环节的输出量反映了输入信号的变化趋势。常见的微分环节有纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节三种。相应的微分方程为,式中：为时间常数；z为阻尼比。其传递函数分别为(2-51)(2-52)(2-53)由上述各式可见，这些微分环节的传递函数都没有极点，只有零点。理想纯微分环节只有一个零值零点，一阶微分环节有一个负实数零点，二阶微分环节有一对共轭复数的零点。,图2-13RC电路,在实际物理系统中，由于惯性的普遍存在，以至于很难实现理想的微分环节。如图2-13所示的RC电路，其传递函数为显然，只有当RCnum1，2，4，8；den1，16，80，17，10；systf(num，den),Transferfunction：s32s24s8s416s380s217s10,【例2-21】已知系统的传递函数为试在MATLAB中生成系统的传递函数模型。解MATLAB程序如下：%example2-21num10，10；denconv(1，0，0，conv(1，3，1，6，10)；systf(num，den),Transferfunction：10s10s59s428s330s2,2.8.2控制系统的零极点模型(ZPK模型)控制系统的数学模型可表示为零极点形式：其中，Kg为根轨迹增益；zj(j1，2，m)为系统的m个零点；pi(i1，2，n)为系统的n个极点；Kg、zj、pi可以惟一地确定一个系统。因此，在MATLAB中可以用Kg、zj、pi来表示传递函数G(s)。实现函数为zpk()，其调用格式如下：,syszpk(z，p，k)其中，z为系统的零点向量；p为系统的极点向量；k为系统的根轨迹增益。,【例2-22】已知一控制系统的数学模型为试用MATLAB语句建立系统零极点模型。解MALTAB程序如下：%example2-22k2；z3，5；p2，4，6；syszpk(z，p，k),Zero/pole/gain：2(s3)(s5)(s2)(s4)(s6),【例2-23】已知系统的数学模型为试用MATLAB语句建立系统零极点模型。解MATLAB程序如下：%example2-23num2，18，40；den1，6，11，6；%传递函数模型转换为零极点模型z，p，ktf2zp(num，den),syszpk(z，p，k)Zero/pole/gain：2(s5)(s4)(s3)(s2)(s1)也可用下列方法实现：systf(num，den)；syszpkzpk(sys)Zero/pole/gain：2(s5)(s4),(s3)(s2)(s1)在例2-23中我们看到零极点模型和传递函数模型可以相互转换，从零极点模型转换为传递函数模型的函数格式为num，denzp2tf(z，p，k)或num，dentf(sys),2.8.3传递函数的特征根及零极点图1.特征根函数roots()特征方程的根是一个非常重要的参数，因为它与控制系统的暂态响应和系统的稳定性密切相关。在MATLAB中可以用函数roots()求得特征方程的根。roots()函数调用格式如下：roots(c)其中，c为特征多项式的系数向量，按降幂排列，空项补0。,【例2-24】设系统特征方程为s42s34s2s50，试求特征根。解MATLAB程序如下：%example2-24c1，2，4，1，5；roots(c)ans1.25751.5760i1.25751.5760i0.25751.0787i0.25751.0787i,【例2-25】已知单位负反馈系统的开环传递函数为试求闭环系统的特征根。解MATLAB程序如下：%example2-25z2；p0，0.5，0.8，3；k0.2；sys1zpk(z，p，k)；,%生成多项式形式的闭环系统sys2feedback(sys1，1)；systf(sys2)Transferfunction：0.2s0.4s44.3s34.3s21.4s0.4%求闭环特征多项式dcsys.den；denspoly2str(dc1，s),denss44.3s34.3s21.4s0.4%求特征方程的根rroots(sys.den1)r3.01211.00000.14400.3348i0.14400.3348i,2.绘制系统的零极点图函数pzmap()传递函数在复平面上的零、极点图，采用pzmap()函数来实现，零点用“”表示，极点用“”表示，其调用格式为pzmap(sys)p，zpzmap(sys)格式2返回零极点值，但不绘图。,【例2-26】连续系统的开环传递函数为试绘制其零极点图。解MATLAB程序如下：%example2-26num0.20.31；den10.41；systf(num，den)；pzmap(sys)由程序生成的零极点图如图2-42所示。,图2-42例2-26系统的零极点图,2.8.4控制系统模型的连接利用MATLAB函数可以将各部分的传递函数连接起来构成一个闭环控制系统。通常可以通过串联、并联、反馈等环节等效变换的方法来实现。MATLAB提供了相关的函数，现介绍如下。1.系统串联连接函数series()series()函数的调用格式如下：sysseries(sys1，sys2)其中，输入变量sys1与sys2均为被串联模型对象的句柄变量；返回变量sys为串联后系统的句柄变量。,2.系统并联连接函数parallel()parallel()函数的调用格式如下：sysparallel(sys1，sys2)其中，输入变量sys1与sys2均为被并联模型对象的句柄变量；返回变量sys为并联后系统的句柄变量。,3.系统反馈连接函数feedback()函数调用格式如下：sysfeedback(sys1，sys2，sign)其中，输入变量sign1为正反馈，sign1为负反馈，sign的默认值为1。,【例2-27】已知系统的结构图如图2-43所示，试求闭环系统的数学模型。解MATLAB程序如下：%example2-27%合并两并联部分g1tf(1，1，1)；g2tf(2，0，1，2)；gg1parallel(g1，g2)；%合并后与左边部分串联g3tf(1，5，1)；,图2-43例2-27系统的结构图,gg2series(gg1，g3)；%加反馈部分生成系统g4tf(1，2，1)；sysfeedback(gg2，g4)Transferfunction4s38s27s210s437s344s220s4,(1)控制系统的数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通常是先分析系统中各元部件的工作原理，然后利用有关定理，舍去次要因素并进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映系统动态本质的数学模型。(2)微分方程是系统的时域数学模型，正确理解和掌握系统的工作过程、各元部件的工作原理是建立微分方程的前提。,本章小结,(3)传递函数是在零初始条件下系统输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比，是经典控制理论中重要的数学模型，熟练掌握和运用传递函数的概