直线与圆的位置关系3

直线和圆的位置关系（3）,切线的性质和切线长定理,1.（中考题）、是O上的两点，是O的切线，B=70，则OAB=_，BAC=_,O,C,（1）,我能行：,2.（中考题）如右图，AB与O相切于A点，AB=4cm，BO=5cm，则O的半径为。,70,20,3cm,（）定义,（）切线的判定定理.,复习巩固,（已知直线过圆上一点：,连半径，证垂直）,（不明确直线是否过圆上一点：,作垂直，证半径）,判定切线的方法：,50,1、如何过O外一点P画出O的切线？,2、这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。,3、如果P=50,求AOB的度数,130,画一画,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线长概念,切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。,切线和切线长,想一想,切线与切线长是一回事吗？,它们有什么区别与联系呢？,图中有哪些等量关系？,PA=PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点OAPA，OBPB即OAP=OBP=90OA=OB，OP=OPRtAOPRtBOP(HL)PA=PBOPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,PA、PB分别切O于A、BPA=PBOPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,书写格式:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,O,P,A,B,切线长定理,猜想,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？,分析,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,OPAB，且OP平分AB,C,D,归纳,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB=,P,A,B,C,O,60,（4）OP交O于M，则，,M,牛刀小试,（3）若P=70，则AOB=,110,（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA,OA=3,如图,已知O的半径为3厘米，PO6厘米，PA，PB分别切O于A，B，则PA_，APB_,随堂练习,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAPOBP,OCAOCBACPBCP.,(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm),在RtOAP中，由勾股定理，得,PA2+OA2=OP2,即42+x2=(x+2)2,解得x=3,所以，半径OA的长为3cm.,利用切线长定理进行计算,A,B,C,D,E,O,2,1,如图，已知：在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC与点D。求证：DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,C是的切线，是切点,，,是的直径,，即,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。,易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,牛刀再试,我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,三角形与圆的位置关系,定义,3、以I为圆心，ID为半径作I，I就是所求的圆.,例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切,已知：ABC（如图）求作：和ABC的各边都相切的圆,A,B,C,作法：1、作ABC、ACB的平分线BM和CN，交点为I.,2、过点I作IDBC，垂足为D.,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等,三角形的内心是三角形角平分线的交点,三角形的内心一定在三角形的内部,这样的圆可以作出几个?为什么?.,直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到ABC三边的距离相等(为什么?),因此和ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.,三角形与圆的位置关系,2、一个圆有无数个内切圆,1、一个三角形有且只有一个内切圆,定义：和多边形各边都相切的圆叫做，这个多边形叫做。,多边形的内切圆,圆的外切多边形,内切,外切,如上图，四边形DEFG是O的四边形，O是四边形DEFG的圆，,思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？,(菱形，正方形一定有内切圆),定义,内心（三角形内切圆的圆心）,三角形三边中垂线的交点,三角形三条角平分线的交点,(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部,（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部,外心(三角形外接圆的圆心),例1:ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm)，则AE=x(cm),CE=CD=AC-AE=13-xBF=BD=AB-AF=9-x,由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14,解得x=4,AF=4(cm)，BD=5(cm)，CE=9(cm).,例1ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm),AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r,结论,探究,三角形的内切圆的有关计算,三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半.,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边,图（1）,图（2）,说出下列图形中四边形与圆的位置关系.,四边形ABCD叫做O的外切四边形,四边形ABCD叫做O的内接四边形,小试身手！,想一想：圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性.,例3、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即AB+CD=AD+BC,补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等,判断题：1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等()2、三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3、等边三角形的内心和外心重合；（）4、三角形的内心一定在三角形的内部（）5、菱形一定有内切圆（）6、矩形一定有内切圆（）,错,错,对,对,错,对,1、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）,（A）1（B）12（C）12（D）123,2、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）,（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形,练习,D,C,练一练：,1.直角三角形的外接圆半径为5cm，内切圆半径为1cm，则此三角形的周长是_.2.O为边长2cm的正方形ABCD的内切圆，EF切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,22cm,2cm,如图，已知E是ABC的内心，A平分线交BC于F，且与ABC的的外接圆交于点D，求证：DE=DB。,练习,已知:如图,ABC的面积S=4cm2,三边长a=4.5,b=3,c=2.5.求内切圆O的半径r.,练习,小结,1.学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念,2.利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径,3.在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用,、如图，为的直径延长线上一点，是的切线，求证：,练习,如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点。（1）求AOD的度数（2）若AO=8cm,DO=6cm,求OE的长。,（2）在RtAOD中，AO=8cm,DO=6cm由勾股定理，得AO=,解：（1）ABCD，BAD+ADC=180O内切于梯形ABCD，AO、DO分别平分BAD、ADC，DAO=BAD，ADO=ADCDAO+ADO=（BAD+ADC）=90AOD=180-（DAO+ADO）=90,AO=10cmE为切点OEAD,有AEO=90SAOD=AODO=EOADOE=AOOD/AD=4.8cm,3、如图，在ABC中，C=90，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=6，AD=4.求O的半径r.,6,4,6,4,练习,变式1:如上图，ABC中,C=90,且AC=6，BC=8，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求O的半径r.,6,8,r,6-r,6-r,8-r,r,8-r,练习,4，如图，ABC的内切圆圆O，切点分别为D、E、F，已知AB=Ac，FGBC于G，下列结论中：DFBC；E为B超的中点；若G为EC的中点。则点H在CD上；若AB=5，BC=6，则圆O的半径为1.5;其中正