喀兴林高等量子力学习题6、7、8

.证明了在练习6.1的固有向量展开的(6.1 )式中，如果被正规化，取各值的概率也被正规化了。 杜花伟证明：规范化的情况。 根据(6.1 )式，可得也就是说，取各值的概率被正规化了。#练习6.2 (1)证明了在稳定状态下，所有物理量取每个可能值的概率不随时间变化，因此，所有物理量的平均值也不随时间变化。(2)两个稳态的重叠是稳态的吗？ (杜花伟对照：王俊美)(1)证明：在稳定状态下原则所以.即，所有的物理量的平均值都不会随时间变化(2)两个稳态重叠不一定是稳态的当时，重叠后是稳定状态，当时，重叠后不是稳定状态#6.3证明：函数能写x的多项式时，以下形式求算符的式子成立(解答：陈玉辉对照：项朋)证明： (1)所以(2)所以#练习6.4下式正确吗？ (解答：陈玉辉对照：项朋)解：不正确。因为是x的函数，所以=0#试用和证明练习6.5符号：(孟祥海)(1)(2)(3)证明：(1)因为彼此都很简单。所以和上面的步骤一样(2)首先计算：因为。 上述公式的展开可以实现以下目的：利用相同的理由，可以实现以下目的(三)证明：利用公式即得证！#6.6试制的计算方法、计算和。 (高召唤)解：根据Weyle规则，把物理量的经典A(x，p )写为变量的傅立叶积分(1)将积分中指数上的x和p变更为对应的运算符x和p。 结果是与A(x，p )对应的运算符式A(x，p ) .(2)首先，计算(1)式中的A(x，p )的傅立叶变换，设A(x，p )为(3)有。(4)对于xp，n=1，m=1，将该式代入(2)时也就是说相对地，n=2、m=2，将该式代入(2)时也就是说#练习6.7证明的公式：用这个公式计算。 (解答：田军龙审查：邱鸿广)证明：#练习6.8 (梁端)解：因为。所以欲望：规则：=所以=因为。所以：在条件下#练习6.9一般认为应该满足正确的对应关系：对应于古典量算子的平方必须与经典对应相同。 请想想例子。 说明规则和规则都不满足这个条件。(解答：邱鸿广审查：田军龙)解： (1)规则：的对应运算符如下此运算符的平方是(1)。古典量的算子是(2)。因为规则不满足设定这一条件。(2)规则：的对应运算符如下此运算符的平方是(3)。古典量的算子是(4)。因为规则也没有满足设定条件。#6.10证明： (解答：项朋审查：陈玉辉)证明：先计算重新计算的话=0二2220、1#6.11数学归纳法合计(解答：项朋审查：陈玉辉)解： 由6.28式可知2220其次用数学归纳法，证明上式成立了：当时，显然成立了当时，6.31式、上式成立从上式变成n 1，计算出相同的公式说明了原式对n 1也成立，证明了上式的普遍成立。从6.29式可知2220其次用数学归纳法，证明上式成立了：当时，显然成立了当时，6.31式、上式成立从上式变成n 1，计算出相同的公式说明了原式对n 1也成立，证明了上式的普遍成立。#6.12证明： (1)(2) (梁端)(一)证明：=可以证明同样的事情所以：(2)证明：从上述问题可以看出要将每一个量化为三维，请执行以下操作：所以如下所示。上式被积分相乘，进行了整理因此，这个问题得到了证实#6.13练习7.1导出以下关系式解：用位置x做运算符还是做正运算符与p的关系如下也就是说让这个公式向上作用当p的一个本征向量作用于运算符时，得到另一个本征向量，该本征向量为虽然说有正确性，但还是回来了。 我们被称为作用于运动量固有矢量的上升算子。有上式的左箭形式可知运算符是左箭头的上升运算符。作用是因为可以得到。运算符是右箭头的下降运算符，运算符是左箭头的下降运算符。#7.2中的为多个，能得出x的特征值为多个的结论吗？(韩丽芳审查书)解：为多个的话，则设为=a b由得到由于是多个，所以不是正确的运算符，归一化的归一化向量的特征值是x 同一类别即，此时的特征值是x a、结论矛盾，不能为多个，也就是说x的固有值不能为多个7.3证明：公式成立。(问题人：杨涛评委：吴汉成)证明：表示运算符x的特征值为零的特征向量和表示运算符p的特征值为零的特征向量。证据完成7.4证明以下两个左矢关系成立：(问题人：杨涛评委：吴汉成)证明：用公式向右坐原则在仪式中向右坐原则证据完成坐右边原则坐右边证据完成讨论练习7.5运动量表象的函数形式。 (吴汉成完成，董延旭对照)解：讨论关系式：从矩阵形式来看，如下-(1)另外，特征值向量组完全，即：代入式(1)，则另外，代入上式：-(2)在支部积分这个公式上式可以写如下。其中运算符，该关系式是运动量表象的函数形式。练习7.6证明在描述相同状态的位置表象波函数和运动量表象波函数之间满足傅立叶变换(吴汉成完成，董延旭对照)(1)证明：显然然后，代入上式，如下所示右=-(1)另外，特征值向量组的完整性如下代入(1)式，右显然证明：(1)证明：如果已知，有以下情况：很明显右=另外，代入上式，如下所示- (2)另外，特征值向量组的完整性如下代入(2)式时显然证明：7.7用三维位置表象和运动量表象重新证明，和样，即，(王俊美)在三维位置表象中使用证明以下各式为：7.8同上，重新证明(6.28 )式和(6.30 )式证明： (1)原因是：由此推测数学归纳法： n=0、1、2时，已知上式成立。 假设在n=n时上式成立，则在n=n 1时如果原稿式成立，则在n=n 1时原稿式也成立。 所以成立(2)因为由此推测数学归纳法： n=0、1、2时，已知上式成立。 假设在n=n时上式成立，则在n=n 1时如果原稿式成立，则在n=n 1时原稿式也成立。 所以成立7.9证明：(问题人：陈胜狮子，审查人：刘强)证明：三维位置表象定义了一种状态函数(1)因为如下所示。(2)因为其中：带入上式：所以练习7.10表象的函数形式与状态函数有以下关系另一个算子具有离散的特征值，该特征函数试用函数形式语言，直接给出上述k表象矩阵形式。(解题者：胡项英校对者：宁红新)解： k表象的固有函数构成k表象的一组基向量，任意状态都可以根据该组基向量展开所以其中有#练习7.11 (问题者：韩丽芳)下面的示例说明运算符的埃尔米性和内积定义之间的关系。 设置了函数和等满足束缚状态的边界条件的函数空间。 证明：内积的定义不是(7.40 )式运算符不再是埃尔米，尝试着求出了这种情况下的算子的埃尔米共轭。证明：内积为埃尔米算子的定义是运算符，还有也就是说如果使用army运算符定义，则运算符不再是army。由得#8.7证明：证明： (1)#8.7证明： (许中平)证明：将左端展开为、的分量式利用即得8.8计算下式(许中平)其中a和b是两个非算子的三维向量。解：原因是得到因此。能写类似的文章上式中后三项为线性项，轨迹为0，因此#假设练习8.9(8.80 )式为自旋运算符，则(8.79 )式中的两个运算符，画了什么物理量的运算符？(解答者：熊凯对照者：李泽超)解：已知的(8.80 )式是将(8.79 )式设为为0时的表现，上述两个运算符s1、s2与自旋运算符sx、sy的相位系数不同一个，因此s1、s2分别是自旋在x、y方向上具有相位的运算符。#练习8.10在物理空间中指定方向(1)求SZ表象中向自旋方向的射影Sn的矩阵形式(2)求SZ表象中Sn的两个固有矢量的矩阵形式(3)已知SZ表象中处于状态的矩阵形式，将该矩阵转换为Sn表象或求正矩阵u，将Sn表象的矩阵转换为SZ表象或求正矩阵U-1。解：(解答者：熊凯对照者：李泽超)(1) Sz表象中向自旋方向的投影Sn(2)设sn的固有向量为固有值，