自动控制3.5-3.6-线性系统的稳定性分析VIP

第3章线性系统的时域分析法,2,1.重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；2.讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；3.介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，4.计算稳态误差的方法,本章主要内容,3,3.5线性系统的稳定性分析,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。,一、稳定的基本概念,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,大范围稳定的系统：不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态的系统,小范围稳定的系统：只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态的系统。,4,稳定与不稳定系统的示例,对于稳定的线性系统，必然在大范围和小范围内均稳定；只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。,5,在分析线性系统稳定性问题的时候，所关心的是在系统在不受任何外界输入作用下，系统方程的解在时间t趋于无穷时的渐近行为。即运动稳定性。,对于线性系统而言，运动稳定性与平衡状态稳定性是等价的。,线性定常系统的稳定性的定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,6,根据这个思路分析系统稳定的充要条件。设系统的闭环传递函数为,二、线性系统稳定的充要条件,设线性定常系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时系统的输出增量为脉冲响应。这相当于系统在扰动信号作用下，偏离原平衡工作点的问题。如果当t趋于无穷大时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即,则该系统就是稳定的,7,在单位脉冲函数的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为,8,当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有，此时系统是稳定的。如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有，系统是不稳定的。如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。,9,线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。,10,至于分析系统稳定性的其它方法如奈氏判据、根轨迹图分析法、伯德图分析法等，将在以后的各章中分别予以介绍。,由以上讨论可知，控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。,劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据，因此，这种判据又称为代数稳定判据。,三.劳斯稳定判据,11,1）稳定的必要条件设系统的特征方程为式中。若该方程的特征根为（1,2,.n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为将上式展开,12,由此可见，如果特征方程的根都具有负实部，则特征方程式中的所有系数必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即,根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯判据。,13,2）劳斯判据将系统的特征方程写成如下形式,将方程各项系数组成劳斯表,劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，项系数组成，第二行为2，4，6，项系数组成。,14,15,设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：由特征方程系数组成的劳思阵的第一列为正。,如果劳思表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。,16,例1已知系统的特征方程为试分析系统的稳定性。,例2已知系统的特征方程为试用劳斯判据判断系统的稳定性。,1),2),3),17,1),系统稳定,18,2),系统不稳定,有两个根在右半平面,19,3),？,20,四.劳斯判据的特殊情况,1）劳思表某行第一个列项为零，其余不为零或不全为零。,处理办法一：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。,例3设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表s4112s3220s2(取代0)2s1(2-4)/s02,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。,21,处理办法二：用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），然后对新特征方程应用劳斯判据。,例3设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：对上例中第三列第一项的情况，以s+1乘以原特征方程，得,(s4+2s3+s2+2s+2)(s+1)=s5+3s4+3s3+3s2+4s+2=0,列出劳斯表s5134s4332s3210/3s2-22s14/3s02,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。,22,2）劳思表出现全零行。,表明特征方程存在一些绝对值相同但是符号相异的特征根,例4设系统特征方程为s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表s61-2-7-4s51-3-4s41-3-4辅助方程F(s)的系数s3000,处理办法：用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。,23,F(s)=s4-3s2-4=0,辅助方程为：,对其求导：,dF(s)/ds=4s3-6s=0,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：,第一列元素有一次符号变化，系统不稳定；且有一个具有正实部的根。,s61-2-7-4s51-3-4s41-3-4辅助方程F(s)的系数s34-6s2-1.5-4s1-16.7s0-4,24,求解辅助方程，可以求出产生全零行的特征方程的根。,F(s)=s4-3s2-4=0,即特征方程的：绝对值相同但是符号相异的特征根,25,例5设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表s616104s5284s4284辅助多项式F(s)的系数s3000,F(s)=2s4+8s2+4dF(s)/ds=8s3+16s,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s616104s5284s4284s3816dF(s)/ds的系数s244s18s04,26,解辅助方程：F(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0s2=y，,但由于行的各项均为零，表明系统特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，其值可由辅助方程求得。,可见，系统存在有共轭纯虚根，因此系统是临界稳定的。,27,综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足(i=0,1,2,n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足(i=0,1,2,n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表时出现情况1)和2)，此时为确定系统极点的分布情况，可按情况1)和2)的方法处理。,28,五、劳思稳定判据的应用,为了使稳定的系统具有良好的动态响应，常常希望在s左半平面上系统的特征根的位置与虚轴之间有一定距离。可在左半s平面上作一条s=-a的垂线，而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为给定稳定度。,然后，用新变量s=s1-a代替原系统特征方程中的s，得到以s1为特征变量的新特征方程，再应用稳定性判据。即可判定系统的特征根是否都位于s=-a垂线左侧。,29,例已知系统的结构图如图所示。当时,试确定K为何值时，系统稳定？如果要求闭环系统的极点全部位于垂线之左，问K值范围应取多大？,30,3.5线性系统的稳态误差计算,控制系统的稳态误差，是系统准确度的一种度量，通常称为稳态性能。,对于实际控制系统，由于系统结构、输入信号类型、输入信号形式不同，系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何扰动作用下都能准确恢复到原平衡位置。,控制系统的设计任务之一就是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。,31,系统误差有两种定义方法：,一是在输入端定义：,该方法定义的误差在实际系统中是可测的。有一定的物理意义。,另一是从系统输出端来定义：,该方法定义的误差在实际系统中是不可测的。一般只有数学意义。,显然：,3.5.1稳态误差的定义,32,稳态误差的定义：,系统误差传递函数为：,系统误差中包含瞬态分量和稳态分量，由于系统必须稳定，因此时间趋于无穷时，瞬态分量也趋于零。,因而控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量。,33,应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系统的稳态误差。,上式表明：在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构参数和输入信号的形式有关。,使用该公式应满足:sE(s)的极点均位于s左半平面（包括坐标原点）。,3.5.2稳态误差计算(终值定理法),34,1）,符合终值定理应用条件。,3）,不符合终值定理应用条件。,2）,符合终值定理应用条件。,为1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sint，求系统稳态误差。,解：误差传递函数为,例设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别,说明：1）使用终值定理要注意条件2）稳态误差与输入有关。,使用终值定理将得出错误结论。,35,3.5.3稳态误差计算（稳态误差系数法）,影响稳态误差的因素一般开环传递函数可以写成如下形式：,显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。,式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为0型、型、型系统。,36,显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。,由于系统实际输入多为阶跃函数、斜坡函数和加速度函数，或者是其组合，所以下面以输入信号形式来分别讨论系统的稳态误差计算问题。,37,1）阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数,38,对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用I型或高于I型的系统。,39,三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数,40,上面的计算表明，在斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而I型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。II型或高于II型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。,41,四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数,42,在加速度输入作用下，0型和I型系统的稳态误差为，II型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对III型或高于III型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。,43,五、系统型别、静态误差系数与输入信号形式之间的关系,减小或消除误差的措施：增加开环增益K、提高开环积分环节的阶次。,输入信号作用下的稳态误差,III,44,若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数（即提高系统的型别），都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。,45,例设如图所示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。,解由图求得系统的特征方程为,46,由特征方程列劳斯表21+0.5K3K要使系统稳定，必须K0,3(1+0.5K)2K0解得，当0K6时，系统将不稳定。,48,六、扰动作用下的稳态误差系统在扰动输入作用下的稳态误差反映了系统的抗干扰能力。,扰动输入引起的稳态误差通常采用终值定理求取。,E(s),扰动输入作用下系统的误差传递函数:,此时，系统的稳态误差为,使用该公式应满足:sE(s)的极点均位于s