计数原理与排列组合

计数原理和排列组合计数原理一、知识指导1.分类和计数原则：如果你用n种方法完成一个项目，那么就有n=种不同的方法来完成这个项目。2.分步计数原则：完成一个事件分为n步，然后有n=.以不同的方式完成活动。第二，经典示例指南示例1体育场南边有四个门，北边有三个门。当一个学生去体育场练习跑步时，他进出体育场的计划是()公元前12年，公元前24年，公元49年分析：学生有7个进出房子的选择，也有7个进出房子的选择。根据逐步计数的原则，学生有77=49个进出房子的选择。例3三张卡片的正面和背面分别写有1和2、3和4、5和6。如果三张牌并置，可以得到几个不同的三位数(6不能用作9)。解决方案：解决方案的第一步是选择数字。每张卡有两个数字可供选择，因此选择了三个数字，总共=8个选项。第二步是排列数字。要把一个三位数的数字排好，有三个步骤。首先，排名100位，有三种选择。由于三位数字上的数字不能相同，所以在排列十位数字时有两种选择，在排列一位数字时只有一种选择。因此，可以对321=6个不同的三位数进行排序。示例5使用六个数字0，1，2，3，4，5，(1)可以形成多少个不重复的三位数？(2)能形成多少个不重复的三位数奇数？(3)有多少小于1000的自然数可以不重复地形成？解决方法：(1)分为三步：先选择100位数字。由于0不能用作100位数字，因此有5种选择方法；(2)有5种方式选择10位数字；(3)有4种方法选择3位数字。根据逐步计数的原则，需要554=100位数字。(3)分为三个步骤：先选择一位数字。因为三位数是奇数，所以有三种选择方法；(2)有4种方法可以再次选择100位数字。(3)还有4种选择3位数的方法。根据逐步计数的原理，得到344=48位数字。(4)可分为三类：一位数，共6位；(2)两位数，总计55=25；(3)三位数，554=100。因此，有6 25 100=131个小于1000的自然数四、典型练习指导练习1.将4个不同的球放入编号为1、2和3的3个不同的盒子中，每个盒子都不是空的()A.b. c. 18 d. 36一个艺术团有9个人，每个人至少会弹一首钢琴和小号。其中，7人会弹钢琴，3人会吹小号。有多少种不同的方式来选择一个会弹钢琴和小号的人？排列和组合一、知识指导1.排列：一般来说，M (M N)个元素是从N个不同的元素中取出并按一定的顺序排列的，这叫做从N个不同的元素中取出的M个元素的排列。2.全排列：将n种不同元素全部取出的排列，称为n种不同元素的全排列。3.排列数：从N个不同元素中得到的M (M N)个元素的所有排列数称为从N个不同元素中得到的M个元素的排列数。它用符号来表示。4.阶乘：正整数1到n的连续乘积，称为n的阶乘，使用n！快递。规则：0！=15.组合：一般来说，M (M N)个元素是从N个不同的元素中取出并组成一个组，这叫做从N个不同的元素中取出M个元素的组合。6.组合数：取自n个不同元素的m (m n)个元素的所有组合数称为取自n个不同元素的m个元素的组合数。它用符号来表示。7.本节中的公式(1)置换数公式(这里m，n 和m n)(2)组合数公式(这里m，n 和m n)(3)组合数的两个性质规定：二、难点知识分析1.常见问题包括：排队问题、数问题和几何相关问题。解决应用问题时应注意以下几点：(1)仔细检查问题，根据问题的含义来分析它属于什么数学问题，问题中有什么事件，没有什么限制，通过什么程序来完成事件，用什么计算方法。(2)明确问题的局限性，重视问题的研究，确定特殊要素和特殊位置。考虑这个问题的原则是特殊元素和特殊位置优先。如有必要，通过实验、画图画、简化小数字等方式帮助思考。解决排班申请问题的基本思路；(1)基本理念：直接法：即从条件出发，直接考虑满足条件的排列数；间接法：即在不考虑约束条件的情况下获得所有置换，然后从中减去不合格的置换。常用方法：特殊元素、特殊位置分析、消除法(也称除杂法)、对称性分析、结合法、插入间隙法、构造法等。4.对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何，它们都是相同的组合。当两个组合中的元素不完全相同时(即使只有一个元素不同)，它们就是不同的组合。三、经典范例指南元素多于位置例1十个人走进一个只有六把不同椅子的房间。如果每把椅子必须并且只能为一个人坐，有多少种不同的坐法？分析：原问题被抽象为从10个元素中抽取6个元素，占据6个不同的位置。显然，这是一个从10个元素中抽取6个元素的排列问题。因此，有=151，200种坐法。绑定法和插入法的应用例4四个男孩和三个女孩坐成一排，分别回答下列问题：(1)男生要排多少种坐姿？(2)不相邻的女孩有多少种坐姿？(3)男孩和女孩坐在一起的方式有几种？(4)男孩和女孩有多少种坐姿？(5)女孩有多少种坐姿？解决方法：从整体上看，四名男生被视为一个整体，是一个“大元素”。他们与三名女学生一起被安排在总共四个元素中。有一种坐着的方法。大元素中的小元素有576种坐法。(2)因为女孩不相邻，所以四个男孩被排在第一位。有一种安排的方法。然后，三个女孩被插入男孩与开始和结束之间的五个间隙，并且有1440种排法。(3)类似于(1)可用：=288(4)在男孩排好队后，必须确保男孩彼此不相邻，女孩彼此不相邻。三个女孩只能排在男孩之间的三个空隙中。有两种方法来排列。因此，总共有144种方式来排队。(5)有一种7个元素的完全排列，因为女孩是有序的，当有一种排列方法时，她们的顺序是不固定的，我们知道总共有=840种行方法。这个题目也可以考虑如下：让男生先占据7个位置中的4个，总共有不同的排列方法；剩下的地方都是女生排的，因为女生是按顺序排列的，所以她们只有一种排法，所以总共有840排。解决排列组合应用问题的策略1.相邻问题的绑定方法：例1。五个人并排站成一排。如果它们必须彼此相邻并且在的右侧，则有几个不同的行()a、60 b、48 c、36 d、242.相分离问题在该行中插入：个元素的相分离问题(即不相邻)。例2。七个人并排站成一排。如果甲乙双方不能相邻，则不同的行数为()a，1440 b，3600 c，4820 d，48003.排序问题：的缩放方法限制了问题中的某些元素以维持某个顺序。可以使用缩放方法。例3。五个人并排站成一排。如果你必须站在右边(可能不相邻)，那么不同的行数是()a，24 b，60 c，90 d，1204.标签排序逐步方法：将元素排列到指定位置。您可以首先根据规则排列一个元素，然后在第二步中排列另一个元素。如果你继续这样下去，你可以依次完成它。例4。将数字1、2、3、4填入标有1、2、3、4的四个方块中，并为每个方块填入一个数字，则每个方块的数字与填入的数字不同()a、6 b、9 c、11 d、23a，1260 b，2025 c，2520 d，50406.总分配问题的分组方法：例6。(1)所有4名优秀学生被送到3所学校，每所学校至少有一名学生。有多少种不同的发送程序？7.配额分配分割法：例7:好学生的10个名额被分配到7个班，每个班至少有一个名额。有多少种不同的分配方案？8.限制性条件分布的分类：例8。一所大学从一个系的10名优秀毕业生中挑选出4名，在西部四个城市参与西部经济开发和建设。其中，学生甲比银川小，学生乙比西宁小。有多少种不同的调度方案？9.多重问题的分类：有许多元素，有许多提取的情况。根据结果的要求，可以将它们分为不相容的情况，并分别计数，最后得出总数。例9(1)由数字0、1、2、3、4、5组成，这些数字是没有重复数字的六位数字，其中一位数字少于十位数字的总和()a，210 b，300 c，464 d，60010.交集问题集方法：一些排列组合问题在几个部分之间有交集，可以使用求集合中元素个数的公式。例10。六名运动员中有四名被选中参加4100米接力赛。如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，有多少不同的竞争方案？11.定位问题的优先方法：如果要将一个或多个元素排列在指定位置，可以先排列一个或多个元素；然后安排其他元素。例11.1老师和四名获奖学生排成一行照相。如果老师不站在两端，有几条不同的线？12.多行问题单行方法：可以将在几行中排列元素的问题减少到一行来考虑，然后在部分中处理它。例12。(1)6个不同的元素排列在前后行，每行3个元素，那么不同排列方法的数量是()a，36 b，120 c，720 d，144013.“至少”和“最多”问题被间接排除或归类为：例13。拿4台A和5台B电视机中的3台来说，其中至少需要一台A和一台B电视机。不同的方法有()a，140 b，80 c，70 d，3514.要选择一行，首先取后一行：然后从几种类型的元素中取出几个元素，然后将它们排列在某个位置。可以首先使用后排方法。例14。(1)如果将四个不同的球放入编号为1、2、3和4的四个盒子中，对于一个空盒子有多少种放置方法？15.部分合格排除方法：在选择的总数中，只有一部分合格，不合格项目的数量可以从总数中减去，这就是请求。例15。(1)以立方体的顶点作为顶点份额的四面体()a、70 b、64 c、58 d、52四、典型练习指导练习1.一