对树叶质量问题的数学建模

树叶质量问题的数学建模摘要植物是自然界的基本组成部分，在维持生态环境平衡中发挥着重要的作用。 因此，本文特别对叶相关问题进行了建模分析。对于问题1，本文从大量生物学数据或生物模型中提取叶的特征参数，通过把这些特征转化为功能特征作为建模约束的功能特征参数中的生物量的统计分析，形成生长方程， 通过建立结合植物生理特征的植物叶动态生长模型，建立外部或内部影响与功能特征的关系，确定植物叶的生长过程以模拟外部或内部因素，根据叶形态的变化反映外部环境或内部调节的变化。 最终出现了叶子有各种各样的形状的原因。针对问题2，分别建立叶马赛克模型和分支模型。 关于水平分布，从镶嵌角开始，通过数据分析和一定的生物学基础，以不同的镶嵌角考察了叶的霸盖面积，发现这种叶的实际镶嵌角霸盖面积最大，叶的分布位置对叶形有一定的影响。 针对高度分布，首先建立2D分支模型，研究树冠高度与光强的关系。 其次，假设模糊处理制作了3D分支模型，结论是树冠高度、距东西方向树干的距离与光强度有关。 得到的叶子之间重叠的部分可以最小化，最大限度地接触阳光，叶子的分布和树干和树枝的体积影响叶子的形状。针对问题3，分析树的轮廓参数和叶形参数，用SPSS进行回归分析所得到的关系，证明了叶形(一般特征)与树的轮廓和分支结构有关。针对问题4，利用问题2建立的叶马赛克模型，用一棵树叶的总质量约：并以具体数据验证了该解析公式的实用性。关键字：动态增长模型、叶马赛克模型、分支模型、回归分析一、问题的再研究植物是自然界的基本组成部分，在维持生态环境平衡中发挥着重要的作用。 从现实来看，研究植物生长过程中外观变化的影响很重要。“树叶太多了吗？ ”。如何估计树叶的实际重量呢？ 如何对树叶进行分类？建立了表达和分类树叶的数学模型。 我会考虑以下问题来回答树叶为什么是各种各样的形状？形状的“最小化”投影重叠，能最大限度地照射太阳光吗？ 叶子及其分支机制在“量”下的分布效果的形式是？说到叶的轮廓，和叶的形枝的结构有关系吗？如何估计树叶的质量？树叶的质量和树的尺寸特征之间有关系吗？二、问题分析问题1 :关于树叶为什么形成各种各样的形状，从时间和空间两个房间来回答。问题2 :关于叶片彼此重叠部分的最小化，能否最大限度地接触到太阳和叶片的分布、树干和树枝的体积对叶片形状的影响。 我们想从局部区域叶的水平分布和树冠上叶的高度分布两种空间分布中探讨叶的形状的影响。问题3 :关于叶的轮廓是否与叶的形状分支结构有关，用回归分析模型得到叶的形状与树的轮廓的函数关系。问题4 :基于叶的马赛克原理，我们打算就如何估计叶的质量和叶的质量与树的尺寸特征的关系进行求解。三、模型的假设和符号的说明3.1模型的假设(1)假定叶片的分布是有限的(2)假设每一片树叶的形状是轴对称的(3)假设实验测量的数据与实际有效(4)假设树叶质量基本确定的是最外层枝叶(即最好的分支机制)，内叶的总体质量几乎没有影响。3.2符号说明序列号。符号表示意思1树冠的高度2离东西方向树干的距离3光的强度4树的配置文件参数5叶状参数6一棵树的树叶总质量7叶子总数四、模型的建立和解决4.1问题1的解决4.1.1描述叶片形状的特征参数：4.1.1.1列举空间功能特征参数如下(1)纵横比根据纵横比，可以直观地判断叶片是细长的还是接近圆形。 可以对一个叶片包围它，沿着连接其结合点和叶片尖的方向的最小矩形可以说是其外接矩形。 如图所示，矩形EFHG是该叶片的最小外接矩形，宽高比是外接矩形的长度l与宽度w (或)的比。图1叶状特征的示意图(2)最大的地方(PS )连接叶的结合点p (图2-7 )和叶尖q点(图2-7 )的线为横轴，纵轴为横轴垂直，纵轴和叶缘的交点为a，b，纵轴和横轴的交点为o，AB最长时，从结合点p到点o的距离和外接矩形的长度之比最宽的位置参数，即。(3)叶基部凹陷的程度当叶的结合点不在叶的最小外接矩形上时，表示叶的叶基向叶的内部凹陷，并定义其凹陷的程度。 如图1所示，从叶的叶基结合点p到叶尖q的长度，l是叶的最小外接矩形的长度。 另外，定义为叶凹陷因子：根据叶形的不同，叶凹陷因子各不相同。(4)叶面积叶面积是叶的形态和功能的重要参数，无论是从光照在叶上的现实意义上来看，还是从叶构筑的真实性上都具有重要的意义。(5)矩形度矩形度是图像区域的面积与其最小外接矩形的面积之比，对于矩形的情况，矩形度为1，对于边界弯曲而不规则分布的区域，矩形度为0至1。(6)圆形度圆形度反映了对象图像和标准圆形的差异程度。 可以用公式表示。 这里，是对象图像的周围长度，是对象图像的面积。 圆形度参数和1的差异越大，形状和圆形的差异越显着。(7)偏心率从重心到边界的最大距离和最小距离的比偏心率。 此参数反映从图像重心到边界的相对距离。(8)叶缘及叶裂的特征边界线的局部形状(为了识别叶缘和叶裂)可以用z字形数、叶列数定量地记述。(9)最佳适合椭圆：最佳适合椭圆是指能够包围对象图像的最小的椭圆。(10 )叶片的长度：叶片的长度表示叶片的大小。(11 )特征点：叶基点和叶尖点。(12 )顶点数：决定叶中有多少个叶尖。(13 )多边形的凹陷点数：决定叶片是否有凹陷。除了上面列举的叶的空间特征之外，还有叶缘的锯齿数、左右对称、重心、周长等。4.1.1.2叶状空间的特征表现很明显，以上列举的各叶形特征参数只是有叶形的特征的数学表示，或者由于该数学表示，容易进行抽象的建模，仅在叶形特征在虚拟叶形模型中表示其具体的功能的情况下，才能被称为叶形轮廓模型的功能空间特征。有专家通过植物叶的一些叶形特征的测定和分类，基本上可以进行如下估计。对于一个叶，叶尖、叶基、叶缘、叶脉是其基本构成部分。 由图2、3可以看出，一些基本叶形可以用长径比、最宽的位置、叶基部凹陷程度、叶面积、叶基部凹陷因子v的5个叶形特征参数来表示图2的基本叶形图3宽高比对应叶形线性：纵横比为5，WL为0.5，d为1 (沿阶草等)。剑形：纵横比大于5，WL大于0.7，d为1 (如石菖蒲)。椭圆形：纵横比为1.52，WL约为0.5，d为1 (大叶黄杨等)。鸡蛋圆形：纵横比为1.52，WL大于0.5，d为1。长椭圆形：纵横比为34，WL约为0.5，d为1 (例如金丝雀)。圆：纵横比为1，WL小于0.5，d为(像莲花一样)。倒广卵形：纵横比约为1，WL小于0.5，d为1 (例如玉兰)。大头针：纵横比约34，WL大于0.5，d为1 (柳等)。心形：纵横比约为12，WL为0.10.4，d为0.81，v为12。其他形状有三角形、肾形、菱形、歪斜形、戟形、箭形、心形、倒卵形、倒针状等。在植物叶为单叶脉，左右对称的情况下，其基本叶形如图1所示，结合叶的长径比、最宽的位置、叶基部凹陷程度和叶基部凹陷因子等空间特征，分析叶的上半部分，叶的轮廓通过p、c、a、q四点。 如图1所示，由于设o点为坐标原点，各功能特征参数为比率，因此设最小外接矩形长度l为基本单位，则根据功能特征计算p、c、a、q 4点，其中设c点的横轴为纵轴，则由下述方式表现由以上例子可知，如果忽略一些叶形特征，就可以通过简单测定的几个叶形特征的组合来表现具有不同形状特征的植物的叶。4.1.2小时特征自然界的植物不是不变的，随着时间的流逝，会经历有无到有、从小到大、从生到死的往返循环。 单纯地说植物的叶子，在以时间为轴的生长激素调节下，细胞无论是体积还是质量都快速生长，其最直观的变化是叶子的面积、长度、宽度和重量逐渐增加。 即使纵横比、最宽的位置、叶基部的凹陷程度、叶面积、叶基部的凹陷的因子，在时间变化时，它们也不是静止的，而是规律性随着时间的变化而变化的规律是时间的特征。4.1.2.1生长方程式生长方程式需要统计大量植物叶的叶形特征参数，在收集大量数据的基础上，建立基于数据统计分析和机制规律的统计模型。 由此，两者结合起来构建成长方程式，主要包括、等。4.1.2.1.1生长方程式增长方程式的定义如下(1)其中：表示叶脉的长度、最宽的位置、宽度等随时间变化的叶的空间特征表叶各空间特征的最大值表示各空间特征的初始值参数确定初始值的大小表示生长速度的参数有叶的叶形的特征在整个生长过程中将生长曲线形成为“s”形，图4的曲线为其生长曲线。图4的生长曲线不管初始值如何，当时。 两个重点表现出增长趋势，一旦增长，增长速度作为拐点会变慢，停止增长。 生长方程式在记述植物的叶的长度和最宽的位置的生长变化时，是比较理想的。4.1.2.1.2生长方程式：植物的生长过程类似于s字曲线，但根据植物的品种和栽培的不同环境等多种因素的影响，这种s曲线有很多变化。增长方程式的定义如下(2)其中：表示叶脉的长度、最宽处的位置、宽度等随着时间变化的叶的空间特征的叶的各空间特征的最大值表示各空间特征的初始值参数确定初始值的大小表示生长速度的参数表示异速增长参数，确定曲线形状。从生长方程式的式子可以看出，是单调增加函数，是该生长方程式的拐点，在这一点上的斜率是曲线的最大斜率，即增长率的最大值是。从方程的性质可以看出，这个增长方程由四个增长参数组成，而不是增长方程中的两个经验增长参数。 通过异速参数的控制，可以有效地改变s形曲线的形状(如图5所示)，生长方程的通用性大幅度增加，在描述多种植物的生长过程上出现了良好的效果。当时是方程式当时是方程式当时是方程式当时是方程式。图5的生长曲线由此可见，生长模型能准确地表现多种生长模型及其之间的转变模型，因此被广泛应用，对本文的五个空间特征具有良好的表现效果。4.1.2.1.3小时特征获取在拟合方程中，为了拟合适当的异速参数(即，适当的增长曲线)，必须以适当的时间间隔选择数据点。本文以点心为例，以特定的时间间隔作为数据样本。 以其叶片宽度为例，数据如表1所示钟表的叶片宽度时间(日)369121518叶片宽度13.0419.625.235.2340.746由于叶宽的数据点分布与生长方程中描述的生长曲线非常匹配，所以利用MATLAB软件对以上提供的数据拟合叶脉生长方程的相关参数，得到叶脉的非线性回归生长方程(3)在得到叶片宽度和时间的生长方程后，用该方法可以得到大豆叶片其他空间特征的生长方程。如上所述，从在空间和时间两方面的共同论述可以看出，叶的形状随着时间和空间的变化而变化，并具有不同的叶形。4.2问题2的解决针对第二个问题，本论文通过确立叶马赛克模型和分支模型的研究，明确了叶的形状的多样性。4.2.1叶镶嵌模型叶子在茎上的排列，无论是哪种叶序，相邻的两个叶总是不重叠，成为马赛克状态。 这种同一枝上的叶在马赛克状态下不重叠的现象称为叶马赛克。 这在自然界中普遍存在的现象2。在此，我们通过王科等文献3中对32科64种被子植物的野外观察和室内标本分析，展示了叶序与叶马赛克的关系。 本论文选择代表物，将图表如表2所示简化表2叶序代表性植物相邻角镶嵌角互生玉竹一百八十度一百八十度对生丁香花一百八十度九十度轮生沙参九十度45度(注：邻接角：螺旋周数/循环中的叶数马赛克角度： 360/叶周期的叶数。 (请参见。)为了便于分析，本文以四个叶轮产生的沙参为例，验证了各层叶子以镶嵌角生长，使叶子最大限度地暴露在日光下。4.2.1.1算法模拟(利用MTLAB，绘制一片片叶大小相同的第一层植物叶的分布图(2)在第一层叶以马赛克角生长，然后用MTLAB进行轮廓提取(3)制作可以复盖轮廓的矩形框，用小的正方形分割矩形框(矩形框的参数一直不变)。(4)合计轮廓内小正方形在小正方形总数中所占的比例，计算轮廓面积(5)描绘第二层的轮廓面积和马赛克角度的关系线图。 更改马赛克角度的大小，重复步骤(2)、(3)、(4)，绘制所有层数和轮廓面积的折线图，直到螺旋周完成为止。算法的模拟结果如下所