第2节　等差数列.ppt

第2节等差数列,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,知识梳理自测把散落的知识连起来,【教材导读】,提示:充分必要条件.2.如何推导等差数列的通项公式?提示:可用累加法.3.如何推导等差数列的前n项和公式?提示:利用倒序相加法推导.,知识梳理,1.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的都等于常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(n2,nN*,d为常数).(2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=.2.等差数列的通项公式(1)若等差数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=.(2)通项的推广:an=am+()d.,差,同一个,an-an-1=d,a1+(n-1)d,n-m,3.等差数列的前n项和公式(1)已知等差数列an的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn=.(2)已知等差数列an的首项a1与公差d,则其前n项和公式Sn=.4.等差数列an的性质(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,qN*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=(p,q,mN*).(2)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列.(3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)成等差数列.(4)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.,2am,5.等差数列的增减性与最值公差d0时为递数列,且当a10时,前n项和Sn有最值.6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.,增,小,减,大,【重要结论】1.等差数列an中,若am=n,an=m,则am+n=0.2.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=Sn(mn),则Sm+n=0.3.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).,双基自测,1.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于()(A)100(B)99(C)98(D)97,C,2.(2017湖北七校一联)若Sn是等差数列an的前n项和,且a4+a8=4,则S11的值为()(A)44(B)22(C)18(D)12,B,4.下列说法正确的是.(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(5)数列an满足an+1-an=n,则数列an是等差数列.(6)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.,答案:(2)(3)(6),考点专项突破在讲练中理解知识,考点一,等差数列的基本量运算,【例1】(1)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()(A)-6(B)-4(C)-2(D)2,答案:(1)A,(2)(2016唐山模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=.,答案:(2)30,反思归纳等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn=结合使用,体现整体代入的思想.,跟踪训练1:(1)(2016武汉调研)已知数列an是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列an的公差d等于()(A)-1(B)-2(C)-3(D)-4,(2)(2016沈阳质量监督)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n等于()(A)5(B)6(C)7(D)8,解析:(2)由Sn+2-Sn=an+1+an+2=36,即a1+nd+a1+(n+1)d=36,又a1=1,d=2,所以2+2n+2(n+1)=36,所以n=8,故选D.,考点二,等差数列的判断与证明,(2)求an的表达式.,反思归纳判定数列an是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意nN*,an+1-an是同一个常数;(2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2an=an+1+an-1;(3)通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数;(4)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0.,跟踪训练2:(2016西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求数列an的通项公式;,解:(1)设等差数列an的公差为d,且d0,由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,所以a3=9,a4=13,易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)4=4n-3.,考点三,等差数列的性质,【例3】(1)(2017安徽安庆模拟)已知等差数列an中,a3+a4-a5+a6=8,则S7等于()(A)8(B)21(C)28(D)35,答案:(1)C,(2)(2016甘肃兰州高三诊断)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()(A)18(B)36(C)54(D)72(3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为.,答案:(2)D(3)60,反思归纳,一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,m,p,qN*).,跟踪训练3:(1)(2017通辽月考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9等于()(A)36(B)72(C)144(D)70,答案:(1)B,(3)设等差数列an的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=.,解析:(3)因为an是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3;又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.,答案:(3)114,考点四,等差数列的最值,【例4】等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则Sn有最大值时,n=.,答案:8或9,反思归纳,求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件.若对称轴取不到,需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数);若对称轴对应两个正整数的中间,此时应有两个符合题意的n值.,备选例题,【例1】在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为.,【例2】在等差数列an中:(1)若a4+a17=20,求S20;,(2)若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,求n.,(2)求数列an的通项公式.,【例4】在公差为d的等差数列an中,已知a1