21章 数学活动

数学活动,新课导入,导入课题,老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.,(1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.,活动目标,活动重点,活动难点,(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.,(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.,推进新课,图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点.观察图形，完成下面各题.,图1,活动1,三角形点阵,下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整,1,3,6,10,15,55,若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.,由知.前n行的点数和为，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24.,该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.,前n行的点数和,解得n1=,n2=,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.,如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，2n，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？,前n行的点数和为,在中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.,依题意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2=-25(舍去).,活动2,正六边形点阵,如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推.,图2,填写下表：,1,6,12,18,1,7,19,37,写出第n层所对应的点数（n2）,写出n层正六边形点阵的总点数（n2）；,6(n-1),1+61+62+6(n-1)=1+6=1+3n(n-1),如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？,1+3n(n-1)=331化简方程为：n2-n-110=0分解因式为：(n-11)(n+10)=0解得：n1=11，n2=-10(舍去)，所以：它共有11层.,点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：a.每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.,随堂演练,1.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.（1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式；,1=1；1+2=；1+2+3=；1+2+3+4=.,3,6,10,（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式：。（3）2015是“三角形数”吗？为什么？,1+2+3+9=45,解：不是.“三角形数”都可以写成的形式，令2015=，解得n1=，n2=.因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数.,（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式.,1=12；1+3=22；3+6=32；6+10=42；.,10+15=52,（5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式：.,（6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？,解：是.152=225.225是“正方形数”.由(5)，225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.,2.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖(均用含n的代数式表示)；,(n+3),(n+2),(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；,解：(2)第n个图共有(n2+5n+6)块瓷砖.由n2+5n+6=506.解得n1=20,n2=-25(舍去).n=20.,(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?,白瓷砖块数是n(n+1)=20(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.864+4203=1604(元).共需1604元钱购买瓷砖.,(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?,在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)化简得n2-3n-6=0解得n1=,n2=.n为正整数，不合题意.不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.,课堂小结,三角形点阵前n行数点数和,正六边形第n层所对应的点数（n2）,6(n-1),n层正六边形点阵的总点数（n2）；,1+3n(n-1),课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。,