有限单元法第十章

结构物可能受到强烈地震、机械振动或海浪冲击等动荷载作用，使结构发生不允许的变形甚至破坏。因此，结构设计必须考虑动荷载效应，进而要求进行动力学分析。,河北工业大学土木工程学院,第十章动力分析,本章以动力学问题为例，阐明如何应用有限元进行结构动力分析，内容包括：,（1）动力有限元方程及系数矩阵；,（2）结构固有特性计算；,（3）结构动力响应计算；,（4）解的稳定性分析。,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,10.1.1有限元方程,第十章动力分析,振动系统中由质量、阻尼和刚度所引起的三种力以及外荷载，将振动系统离散后，便可得到有限元动力平衡方程组。,（1）一般方程,（10.1）,其中，M、C、K分别为整体质量矩阵，阻尼矩阵；分别为整体节点加速度，速度和动荷载向量。,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,10.1.1有限元方程,第十章动力分析,对于地震反应问题，直接作用在结构上的荷载P=0,且阻尼力和弹性恢复力分别只与相对速度和相对位移有关，而惯性力则与绝对加速度有关。现仍以分别表示相对加速度、相对速度和相对位移，表示地震牵连加速度（地面加速度）则式（10.1）变为,（2）地震问题,（10.2）,其中,（10.3）,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,10.1.2方程的推导,第十章动力分析,在动力分析中，同静力分析一样首先对空间进行离散。单元位移函数为,（1）位移、速度、加速度,（a）,为简便，我们把动力问题化成静力问题，即把惯性力和阻尼力看做体积力施加在结构物上，这样就可按静力问题进行分析。,或,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,单元内部各点的速度和加速度分别可以用单元节点的速度和加速度表示为,其中节点位移向量为,（a）,10.1.2方程的推导,形函数矩阵为,（b）,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,由式（1.19）惯性力的等效节点荷载,（2）惯性力的等效节点荷载,（d）,若材料的质量密度为，根据DAlembert原理，单元内单位体积上作用的惯性力为,其中，Me为单元质量矩阵，即,（10.4）,（10.5）,10.1.2方程的推导,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为，则单元内单位体积上作用的阻尼力可表示为,（3）阻尼力的等效节点荷载,（f）,阻尼力的等效节点荷载为,（g）,其中，Ce阻尼力的等效节点荷载为,10.1.2方程的推导,（10.7）,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,用P表示外部动荷载产生的整体节点荷载向量，则总的整体节点荷载向量为。,（4）动力有限元方程的建立,（10.8）,动力有限元方程式为,10.1.2方程的推导,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,10.1.3系数矩阵,第十章动力分析,采用有限单元法进行结构动力计算，必须建立结构系统的整体质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K。,（1）质量矩阵,（10.1）,整体质量矩阵M的元素mij称为质量影响系数，其物理意义是：自由度j的单位加速度在自由度i方向引起的力。,在对结构进行离散化处理时，分配单元质量的常用方法有两种，即一致质量法和集中质量法。,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,对于平面问题常应变三角形单元，一致质量矩阵为,一致质量法按式（10.5）计算单元质量矩阵。此时使用了与推导单元刚度矩阵相同的位移函数，故称为一致质量矩阵。又因为单元的动能和势能是相互协调的，也称为协调质量矩阵。,10.1.3系数矩阵,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,第十章动力分析,关于质量矩阵的对角化，最常用的方法是对一致质量矩阵的行求和，即,集中质量法简单地将单元的质量集中分配于单元的节点，形成集中质量矩阵。假定质量集中在点上，一般不考虑转动惯量，所以与转动自由度有关的质量系数为零。集中质量矩阵是对角矩阵。,10.1.3系数矩阵,河北工业大学土木工程学院,研究表明，采用一致质量矩阵将高估自振频率；而采用集中质量矩阵则以同样量级低估最高自振频率。因此有学者建议在实际中采用混合质量矩阵。即这两种矩阵的平均值。,10.1动力有限元方程,10.1.3系数矩阵,对于平面问题常应变单元，集中质量矩阵为,（10.10）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,动力学方程的阻尼项代表在运动中所消耗的能量。产生阻尼的原因是多方面的，如滑动摩擦、空气阻力、材料内摩擦等。通常是用等效粘滞阻尼来代替。,10.1动力有限元方程,10.1.3系数矩阵,（2）阻尼矩阵,（10.7）,假设阻尼力正比于运动速度，则单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵，如式（10.7）。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,于是，根据初应力的等效节点荷载公式（9.50），可以得到单元阻尼矩阵,10.1动力有限元方程,10.1.3系数矩阵,如果假定阻尼应力正比于应变速度（由于材料内摩擦引起的结构阻尼通常可以简化为这种情况），则可表示为,（9.50）,（10.11）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,10.1动力有限元方程,10.1.3系数矩阵,可见，此单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵。,Rayleigh阻尼为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。,（10.12）,第十章动力分析,（10.11）,河北工业大学土木工程学院,10.2.1广义特征值问题,10.2结构固有特性,计算结构的固有频率和固有振型称为特征值问题。它是结构动力分析的基本内容，也是采用振型叠加法计算结构动力响应的前提。,（10.1）,在式（10.1）中令P=0，得到自由振动方程。在实际工程中，阻尼对结构自振频率和振型的影响不大，因此可忽略阻尼力，从而得到无阻尼自由振动的运动方程,（10.13）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,将其代入式（10.13），可得齐次方程,在自由振动时，因结构中各节点的振幅不全为零，故其系数行列式必为零，即,（10.14）,式（10.13）为常系数线性齐次常微分方程组，其解的形式为,10.2.1广义特征值问题,10.2结构固有特性,（10.15）,（10.16）,求解方程组（10.15）的问题称为特征值问题。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,对应每个特征值i2，由式（10.15）可确定一组相应的振幅值i2(i=1,2,n），称为特征向量，在工程上通常称为结构的振型。,10.2.1广义特征值问题,10.2结构固有特性,（10.16）,K和M都是n阶方阵，n是结构节点自由度数目。可见，式（10.16）是2关于的n次代数方程，称为式（10.13）的特征方程。其解i2(i=1,2,n）称为特征值。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,数学上可以证明，当质量矩阵为对称正定、刚度矩阵为对称正定或半正定时，所有特征值为非负的实数，特征向量也是实向量。,10.2.2特征值和特征向量,10.2结构固有特性,（10.17）,在结构分析中，刚度矩阵和质量矩阵是实对称矩阵。消除刚体位移后的刚度矩阵是正定的；采用一致质量矩阵时，质量矩阵是正定的。,其中，i称为结构的第i阶固有频率，对应的特征向量i称为第i阶固有振型。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,显然，如果是广义特征问题的特征向量，乘以不等于零的常数后仍为特征向量。通常使特征向量满足,10.2.2特征值和特征向量,10.2结构固有特性,（10.18）,它们满足方程,（10.19）,这样规定的特征向量或振型称为正则振型。,将特征解（i2,i）和（j2,j）分别代回方程（10.15）得到,（10.20）,（10.21）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,可见，当ij时，必有,10.2.2特征值和特征向量,10.2结构固有特性,（10.22）,式（10.20）两端前乘以jT，式（10.21）两端前乘以iT，并注意到K和M的对称性，可以得到,上式表明特征向量关于矩阵M是正交的。由式（10.19）和(10.22)得,（10.23）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,如果定义特征矩阵,10.2.2特征值和特征向量,10.2结构固有特性,（10.24）,由式（10.18）和（10.23）得,（10.25）,（10.26）,（10.27）,则特征解的性质可表示为,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,振型叠加法的基本思想是：先将方程组非耦合化，然后再积分求解非耦合方程组。,10.3.1振型叠加法,10.3结构动力响应,动力有限元方程组的解法主要有两类，即振型叠加法和直接积分法。,M和K是振型正交的，而且在采用系统比例阻尼假设下，C也是振型正交的。所以借助振型向量所组成的位移变换矩阵，便可实现方程组的非耦合化。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,其中，xi(t)是时间的函数，这样便有,（10.28）,在求出结构无阻尼自由振动的频率和振型以后，可用振型的线性组合来表示结构的节点位移,10.3结构动力响应,10.3.1振型叠加法,（10.29）,代入方程（10.1），并各项前乘T，得,（10.1）,（10.30）,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,于是,（10.31）,注意到式(10.26),并设阻尼矩阵为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合，即,10.3结构动力响应,10.3.1振型叠加法,（10.32）,其中,（10.33）,第十章动力分析,（10.26）,河北工业大学土木工程学院,将式（10.26）,（10.32）代入式（10.30），可得一组相互独立的微分方程,（10.34）,显然，如果已知结构的两个频率i，j以及相应的阻尼比i,j，则阻尼常数为,10.3结构动力响应,10.3.1振型叠加法,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,Duhamel积分基本思想是：将激振力ri(t)分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出每个微冲量的响应，然后将所有微冲量的响应叠加起来。,由于高阶振型对结构动力响应的贡献一般都很小，通常只计算最低的3阶到5阶振型即可。,（10.35）,10.3结构动力响应,10.3.1振型叠加法,振型叠加法的缺点是必须求解特征值问题。另外，由于该法应用了叠加原理，故只适用于线性问题。,其中，,ai,bi由初始条件确定。,第十章动力分析,河北工业大学土木工程学院,（2）在一定数目的t区域内，假设位移at，速度,加速度的函数形式,计算t+t时刻运动状态的公式,直接积分法是：直接对方程（10.1）进行逐步积分，而不进行任何形式的变换。,10.3结构动力响应,10.3.2直接积分法,第十章动力分析,求解的基本思路基于如下两个概念：（1）将在01/2，则。这表明振幅将不断衰减，这是由于数值计算中取1/2这一人为因素而引入的一种“人工”阻尼，称为“数值阻尼”。,第十章动力分析,10.4解的稳定性,10.4.2稳定性条件,河北工业大学土木工程学院,图中给出了在不同的,情况下，随t/T的变化。,第十章动力分析,10.4解的稳定性,10.4.2稳定性条件,三种Newmark方案的t/T曲线,河北工业大学土木工程学院,这种数值阻尼在一定条件下是有用的，因为在直接积分法中，采用的t通常均远大于系统最高频率所对应的周期。对此频率的响应是不可靠的，并将产生数值上的干扰。如果通过取1/2而引入数值阻尼，则高频的干扰可迅速衰减，而对低频的响应甚微，从图