理论力学周衍柏第三章

第三章刚体力学,.1刚体运动分析,一、刚体运动的描述,1.刚体:是特殊质点组drij.=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体.,2.描述刚体位置的独立变数,描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n个?否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量.,需6个变量即可,9-3=6,3.描述刚体位置的欧拉方法,刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动,描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由,但由于,欧拉方法:1776年欧拉建义,三个描述质心，两个独立描述转向，一个描述绕轴的转角,三个独立的角度称欧拉角,二、刚体的运动分类,1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.,A,B两点的位移相等,即有任意两点的运动情况相同,任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动),2.定轴转动:刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴.需要一个独立变量,平面平行运动:刚体上各点均平行于某一固定平面运动.可以用平行于固定平面的截面代表刚体.需要三个独立变量,定点运动:刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动.需三个独立的欧拉角.,5.一般运动:平动+转动,3.2角速度矢量,一、有限转动的角位移和无限小转动的角位移,1.定轴转动时:角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.,2.有限转动的角位移不是矢量,先绕x后绕y,先绕y后绕x,可见，有限转动角将不满足矢量加法对一律，故不是矢量。,3.无限的转动角位移是矢量：,略去二阶小量，得合成线位移：,r为P点位矢，转动r到p,交换对易次序得：,因为,所以,因为r为任意，故,可见n是矢量.,二、角速度矢量,1.dn为刚体dt时间内的角位移,为刚体绕顶点O的角速度,2.定点转动时,转轴随时间而变,某一时刻的转轴叫该时刻的瞬时转轴,沿该时刻的瞬轴.,3.线速度与角速度的关系,-欧拉公式,4.推论:当Oxyz固连于刚体,取r=i,j,k,-泊松公式,3.4刚体运动方程与平衡方程,一、基础知识,二、公理：1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不改变其作用效果，F与F等效。,1.力系：作用于刚体上里的集合.平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系.等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同.,注：1）以上公理适用于刚体,2)力的作用线不可随便平移,三、力偶力偶矩,力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。力偶所在平面角力偶面.,2.力偶矩:对任意一点O,上式表明:1)力偶矩与矩心无关,故M可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量;2)M的唯一效果是引起转动效应;3)力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有M=0,发生矛盾).,3.等效力偶:(1)力偶可在力偶面内任意般动,M不变时等效；(2)可使M不变,改变F,d,与原力偶等效。,三、力系的简化-找一力系与原力系等效,力平移至O点后，必须加上一力偶，其矩,1力的平移定理,2.任意力系的简化,1)设作用于刚体上的力系F1,F2,.Fn.在刚体上任选一点O为简化中心,将n个力分别平移至O,2)将在O的n个力和力偶矩求矢量和,分别称为力系的主矢和主矩,3.改变简化中心的影响,若向O点简化时,MO=0,即简化为O点的一合力R=F,即,合力F对O点的力矩等于各力对同一点力矩的矢量和-合力矩定理,3.简化结果的讨论,四、刚体的平衡方程,刚体对静止系保持静止称为刚体的平衡。一力系平衡的必要且充分条件是：,2.几种特例,1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为简化中心，则,2）平行力系：假定所有力平行于l0，则,因此，可以简化为过C点的合力,3）平面一般力系,力系在xoy平面，则平衡方程：,三矩式：平面上三点O1，O2，O3不共线：,二矩式：O1O2不与x轴垂直,空间一般力系,静定与超静定问题,例:p233,求最小倾角,解:,五、刚体运动的微分方程,1.取质心为简化中心,自由刚体6个独立变量，6个方程，恰能求解。,2.动能定理,为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个,3.5转动惯量,一、刚体的动量矩,动量矩为,2.坐标表示,1.某时刻刚体绕瞬轴OO转动,则pi点的速度为,二、刚体的转动动能,三、转动惯量,1.刚体对一转轴的转动惯量,回转半径,定义:刚体对已知轴OO的转动惯量为,对连续分布,I与质量分布、形状及其轴的位置有关，是转动惯性的度量,回转半径：,平行轴定理：,正交轴定理(适用于薄片)：,2.刚体对通过空间一点O的任意轴的转动惯量,设瞬轴的方向余弦为(,),可见：要计算对某轴的转动惯量I，算出惯量系数，把该轴的方向余弦代入公式即可。,注意：选刚体坐标系，惯量系数为常数，是对x,y,z的方向余弦,动量矩、动能、转动惯量可以用矩阵的形式写为：,惯量张量,四、惯量张量与惯量椭球,1.补充知识,1)算术量，代数量，坐标分量,2)标量：只需一个数描述的物理量，在坐标变换（转动）时，该量保持不变。,3)矢量：需要三个数描述的物理量，如：,并不是任意三数组成一列矩阵构成矢量。如（年龄，身高，体重）。当坐标变换时，它必须满足一定的关系，才是物理量的分量。（矢量是真实物理量，在坐标变换时是不变的）,4)二阶张量:如果一物理量可以用9个量描述，且当坐标变换时，满足,称为张量的分量（为三度空间中二阶张量的分量）,为当作表旋转时所满足的关系。,2.惯量张量,满足张量的变换法则，故9个惯量系数组成一张量，为惯量张量。,惯量张量矩阵形式,3.惯量椭球,设刚体绕瞬时绕轴转动，惯量为I，转轴方向余弦(,),.1刚体运动分析,一般运动:平动+转动,3.2角速度矢量,-欧拉公式,3.4刚体运动方程与平衡方程,任意力系的简化：,刚体的平衡方程：,刚体运动的微分方程（取质心为简化中心）：,3.5转动惯量,一、动量矩为：,统称惯量系数,二、刚体的转动动能,三、转动惯量,定义:刚体对已知轴OO的转动惯量为,回转半径：,动量矩、动能、转动惯量可以用矩阵的形式写为：,惯量张量,3.惯量椭球,设刚体绕瞬时绕轴转动，惯量为I，转轴方向余弦(,),这是中心在O的二次曲面，一般为闭合曲面Q点坐标满足上述方程，即Q点在曲面上，当OO轴转动时，I变Q变，Q点的轨迹为中心在O的椭球面，通常称为惯量椭球。,惯量椭球方程,用处：它在几何上描述转动惯量，可以求I。求出惯量系数，做出椭球；要求对某轴的I，画出该轴，量出,五、惯量主轴及求法,据解析几何理论，适当选取坐标轴方向（旋转）可使方程中的交叉项消失，该旋转后的坐标轴为惯量主轴，对该惯量主轴的转动惯量简记为，称为主转动惯量。,选惯量主轴为坐标轴：,2.确定惯量主轴的方法：,1)解析法：椭球与主轴交点位矢与该点法线方向一致,(或用求本征矢的方法),2)几何法：适用于几何对称，分布均匀刚体,10若刚体有一对称轴，如oz轴，则该轴为惯量主轴,20如刚体有一对称面，则此面的垂线为惯量主轴,y,z轴为主轴，则x轴按右手系亦为主轴。,例P1881）直接积分法,2）,3）选主轴为坐标轴,3.6刚体的平动与定轴转动,一、平动：,运动学特征：刚体上各点的速度，加速度均相同，通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。,2.运动为微分方程,自由刚体：取质心为代表（力系向质心简化）.由三个独立变数可以描述,不需用.可见自由刚体的平动和质心运动无区别。,2）实际刚体作平动都受约束，则有刚体运动微分方程：,其次还需要考虑约束方程，才能解出约束反力及运动规律。,二、定轴转动,1.运动学特征：,10刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动，平行于z轴的直线上的各点的运动情况相同，故可用垂直于轴的任一截面代表刚体，仅有一变量.,2.定轴转动微分方程,3.转动动能,取Z分量：,方程（2）可代替方程（1）。,三、轴上的附加压力,1.轴是一种约束，对刚体的作用力为约束反力。,对固定点A的动量矩定理,下面简化该公式，设A-xy,z为静系，由欧拉公式，得:,（3）代入（1），（2）投影得：,3.讨论：,1)（4）中最后一式可解得运动规律，其余五式可解得NAx,NAy,NAx,NBx,NBy；,化为通常的平衡方程;求得的约束反力为静力反力，,与静力反力相差很大，即出现附加压力，起因与刚体转动时产生的惯性力；,不产生附加压力的充要条件,此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足：,故由（4）得，,即刚体重心在转轴上，且转轴为惯量主轴。此时称刚体达到动平衡，该转轴为自由转轴，此时即使消去约束，刚体还会绕它继续转动。,例：P2353.14,(1)由上述公式求解,（2）直接由质心运动定理和对o点的动量距定理求解,注：书中得答案坐标的选取,3.7刚体的平面平行运动,一、平面平行运动的运动学,1.运动特征,1)其上任一点始终在平行于某一固定平面内运动，刚体上垂直该固定平面的直线上各点运动情况相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表刚体。,2）刚体在内，由，可由两步完成,随A点的纯平动，基点位移均为,再绕A作纯平动，,可见刚体的平面平行运动可分成=任意点的平动+绕该点的转动,2.P点的速度,取A为基点:,P点在静系和动系中的坐标为（x,y）和（x,y）,v在静系中的投影：,3）选取不同基点B，基点位移不同，即，改变基点，基点的位移不同，因而速度，加速度不同；但是角位移，角速度相同。,3.P点的加速度,二、转动瞬心,作平面平行运动的刚体任意时刻薄片上恒有一点速度为零，该点为转动瞬心。,2.求瞬心,1)解析法：在静系中,在刚体系中：,3.当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，c在固定平面上的轨迹叫做空间极迹，在薄片上的轨迹叫做本体极迹。一般情况下，本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动。-潘索定理。,例：车轮滚动,4.平面平行运动的运动学求解,1）求瞬心的位置，本体极迹和空间极迹：,作图法：求出c的位置，再写出其坐标表达式。,2）求刚体上任意一点的速度和加速度：,1）椭圆规尺AB两端点的速度方向已知，故过A及B作两直线分别与vA及vB垂直，此两直线相交于c，故c为转动瞬心。,空间极迹,本体极迹,p198例1.试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度,并求本体极逊和空间极迹的方程式.,三、平面平行运动动力学,1.运动微分方程以运动学观点，基点可任意选取，以动力学选质心为点较宜。取过质心的薄片代表刚体（0-xy为静系，C-xy为刚体系）,(1)-(3)为刚体平面平行运动微分方程，三个方程可以确定,由于受到约束做平面平行运动，约束力未知，一般未知数的个数大于方程的个数，需要加约束方程才能求解。,2.动能,3.应用,方法一、机械能守恒定律,例P202,滚而不滑条件：,解得：,方法二、解微分方程,例2以杆打击球的底部，使球获得v0,0,此时连滚带滑。研究球以后如何运动.,例：半径为a的圆柱放在半径为b的大圆筒内，把小柱偏离平衡位置作纯滚动。证明质心的运动如同等值单摆运动，等值单摆长为：,例3.26,解：建立坐标系0 xy，以逆时针为正，沿-k,3.8刚体的定点转动,一、定点转动运动学,1.运动学特征：有一点始终固定不动。,2.欧拉角：以O为定点，定系：O-(e1,e2,e3)动系:O-xyz(i,j,k),经过三步可以达到任何位置。，称为欧拉角，分别称为进动，章动，自转角（天文学称法）；02，0，02，确定了自由转轴的方位，确定了绕oz轴的自传角,3.欧拉运动学方程：刚体的微小角位移：,欧拉运动学方程,已知(t),(t),(t)可以求得，反之亦然。,4.转动瞬轴：过O点，但方向在变化，某时的取向叫转动瞬轴。随刚体运动，瞬