第六章微积分的创立(下】).ppt

6.3莱布尼茨的微积分,莱布尼茨简介,莱布尼茨是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日1727年3月31日）同为微积分的创建人。,在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz，16461716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使莱布尼茨在巴黎居留了四年(16721676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础,6.3.1特征三角形,与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究特征三角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形据莱布尼茨后来在微积分的历史和起源中自述，他这项发现正是受到了帕斯卡论文关于四分之一圆的正弦的启发，他从这篇短文的一个例子中“突然看到一束光明”,帕斯卡的“例子”是下述的命题：,“圆的一个象限的任何弧的正弦之和，等于界于两端的两个正弦之间的底线段乘以半径”这里“正弦”是指纵坐标，而在所说的和中，每个纵坐标都要乘以相应的圆的无限小弧而不是乘以底的小段.,帕斯卡为了证明他的命题，在四分之一圆上取一点，并过点作一个直角三角形，其斜边与圆相切于易知与相似，于是：,则,=,帕斯卡将和看成是一些不可分量，将它们相加，便得到相当于下式的结果：从而,左端可以看成是四分之一圆绕J轴旋转所成的半球的面积帕斯卡的论证仅限于这一特例，他本人并未察觉其中所使用的三角形的普遍意义莱布尼茨却由此看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中看到的“一束光明”,6.3.2分析微积分的建立,早在1666年，莱布尼茨在组合艺术一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论，例如他考察了平方数序列：0,1,4,9,16,25,36，及其一阶差1,3,5,7,9,11,与二阶差2,2,2,2,2,当时他注意到如果原来的序列是从0开始，那么一阶差的和就是原序列的最后一项，并且这里序列的求和运算与求差运算存在着互逆的关系,大约从1672年开始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来借助于笛卡儿解析几何，莱布尼茨可以把曲线的纵坐标用数值表示出来，并想象一个由无穷多个纵坐标y值组成的序列，以及对应的x值的序列，而被看作是确定y纵坐标序列的次序同时考虑任意两相继的x值之差的序列莱布尼茨后来在致洛必达(LHospital)的一封信中总结说：这使他发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和!”,莱布尼茨首先着眼于求和，并从简单的情形y=x开始因为x表示相邻两项的次序，莱布尼茨取序数差为1，设L为两相邻项的实际差.莱布尼茨用拉丁文omnia的缩写omn表示和，则有：omn.=L=y.,在y=x的条件下，如图所示，对于无限小的x来说，ly（矩形的面积）的和等于（三角形的面积）莱布尼茨在这里认为：“从0起增长的直线，每一个用与它相应的增长的元素相乘，组成一个三角形”所以可以写出：omn.,6.3.3莱布尼茨微积分的发表,以上是根据莱布尼茨手稿中出现的内容来追溯莱布尼茨微积分的起源，这些手稿散乱且难懂大约到17世纪80年代初，莱布尼茨开始总结自己陆续获得的结果，并将它们整理成文，公诸于众1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大与极小值和求切线的新方法(简称新方法)，刊登在教师学报(ActaEruditorum)上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy,新方法中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式.我们知道，莱布尼茨还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼茨法则”推广到了高阶情形这些都表明莱布尼茨非常重视微积分的形式运算法则和公式系统相比之下，牛顿虽然也发现并运用了这些法则，但却没有费心去陈述一般公式，他更大的兴趣是微积分方法的直接应用,1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系莱布尼茨分析道：“研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分。,在这篇积分学论文中，莱布尼茨给出了摆线方程为:目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程而正是在这篇论文中，积分号第一次出现于印刷出版物上.他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的,莱布尼茨其他贡献,莱布尼茨的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。,1666年，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文论组合的艺术。1679年，莱布尼茨发现他的二进制可以给中国古老的六十四卦易图一个很好的数学解释，他是通过他的朋友、法国传教士百晋得到的六十四卦易图，莱布尼茨高兴地说“可以让我加入中国国籍了吧！”,1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。帕斯卡逝世后，莱布尼茨发现了一篇由帕斯卡亲自撰写的“加法器”论文，勾起了他强烈的发明欲望，决心把这种机器的功能扩大为乘除运算。莱布尼茨早年历经坎坷。在获得了一次出使法国的机会后，为实现制造计算机的夙愿创造了契机。在巴黎，莱布尼茨聘请到一些著名机械专家和能工巧匠协助工作，终于在1674年造出一台更完善的机械计算机。,中西文化交流之倡导者,莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他还曾经通过传教士，建议中国清朝的康熙皇帝在北京建立科学院。,莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书艾克哈特。1698年以后，莱布尼茨失宠，晚景颇为凄凉。公元1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。,6.4牛顿莱布尼茨之争,1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。到1696年时，已有微积分的教科书出版。,起初没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704年，在其光学著作的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。,后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的：牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。,即使莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。莱布尼茨对微积分表述得更清楚，采用的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因此现在的教科书一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。实际上，如果这个事件发生在现在的话，你们觉得功劳是谁的呢？,在今天，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。,而在有国家荣耀、民族情绪参与其中时，更难以达成共识。牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的