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最短路径问题,专题讲座,西安市育临潼区零口中学李雄,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,课题回顾,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,理论探究,将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线,问题抽象,作法：（1）作点B关于直线l的对称点B；（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,问题解决,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BCAB,你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,理论证明,1.两点之间，.2.点到线的所有连线中，。,理论基础,1.a+bc,2.a-bc.,理论依据,()两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,常见基本类型：,基本模型一：将军饮马问题,()两点在一条直线同侧,已知：如图，A，B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,常见基本类型：,基本模型一：将军饮马问题,1（200916）如图，在锐角ABC中，BAC的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是_,变式训练,2、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_,变式训练,3、如图，正方形ABCD的边长是8，DE=2，点F是对角线AC上的一个动点，则DF+EF的最小值是_,变式训练,如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。,常见基本类型：,基本模型二：利用轴对称把线段的和转化成一条线段,练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径,变式训练,常见基本类型：,基本模型三：造桥选址问题,现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,变式训练,如图，已知两条直线与两点A、B，请在直线上截取线段CD=1，并使AC+CD+DB最短,常见基本类型：,基本模型四：化曲为直型,问题：如图，试在
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