数学人教版九年级上册垂直于弦的直径 .ppt

24.1.2垂直于弦的直径（垂径定理）,【教学内容】人教版24.1.2垂直于弦的直径【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,垂径定理的几个基本图形,OEAB,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm.,活动三,在RtAOE中,讲解,垂径定理的应用,再逛赵州石拱桥,如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设知,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,R-7.2,18.7,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,练一练,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,变形题,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,方法规律,已知：如图，直径CDAB，垂足为E.若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.,由、两题的启发，你能总结出什么规律吗？,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,O,A,B,C,D,M,推论：,垂径定理及推论,直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.,知二得三,注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?(),错,驶向胜利的彼岸,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,C,(4),挑战自我画一画,3、已知：如图，O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,例已知:如图,是直径,AB=10,弦AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.,E,5,4,3,2,变式提高,O,A,B,C,（1）已知O的半径为4.5，它的内接ABC中，AB=AC,ADBC于D,AD+AB=10,求AD的长。（2）若D是BC的中点，ADBC,BC=24,AD=9,求O的半径。,D,B,A,C,D,O,(1)解：连结OB,延长AD，则必过圆心O。若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x在RtABD和RtOBD中，BD2=AB2AD2=OB2OD2即（10x）2x2=4.52（4.5x）2解得x=4即AD=4,2.P为O内一点,且OP=2cm,若O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于()A.1cmB.2cmC.CmD.,D,垂径定理的应用,解法训练:二、请你选择正确的答案,1.同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的半径之比为()A.3:2B.:C.:2D.5:42.已知:AB是O的直径,OA=10,弦CD=16,则A,B两点到CD的距离之和等于()A.24B.12C.16D.6,B,B,垂径定理的应用,解法训练:二、请你选择正确的答案,已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AECD,垂足为E.BFCD垂足为F.求证：EC=DF,已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CECD,DFCD求证：AE=BF,G,G,一题多变,达标检测,一、填空1、已知AB、CD是O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为cm.2、已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.3、已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为4、在半径为25cm的O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是5、O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=,14cm或2cm,2,5cm,10cm和40cm,4.如图,在O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么O的半径为()A.4cmB.5cmC6cmD8cm,5.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为.,6.如图,O直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,BE=2cm,CEA=30,则CD长为.,B,F,8.已知:如图,AB,CD是O直径,D是AC中点,AE与CD交于F,OF=3,则BE=.,9.如图,DEO的直径,弦ABDE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则CD=,OC=.,10.已知O的直径为10cm,弦ABCD,AB=12cm,CD=16,则弦AB与CD的距离为.,6,9,4,2cm或14cm,3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为cm；,能力提升：若遇下雨天，管内污水水面上升了70cm，则污水的水面宽AB=cm；,船能过拱桥吗,变形题：如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R3.9（m）.,船能过拱桥吗,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,例题讲解,例1.一条米宽的河上架有一半径为m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽为米且高出水面米的船能否通过此桥，并说明理由,4.已知:ABC中,A=900,以AB为半径作A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.,A,B,C,E,D,垂径定理的应用,1.已知:AB,CD是O的两条平行弦,MN是AB的垂直平分线.求证:MN垂直平分CD2.在直径为130mm的圆铁片上切去一块高为32mm的弓形铁片.求弓形的弦AB的长.,作业:,问题：车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？,生活生产中的启示,A,B,方法:寻求圆弧所在圆的圆心,在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其交点即为圆心.,现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法:寻求圆弧所在圆的圆心,在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其交点即为圆心.,3.已知:AB和CD是O的两条等弦,点E,F分别在AB和CD的延长线上且BE=DF.求证:E