中考圆形综合题型考点分析

中考复习题型分类资料-圆的综合题中考圆形综合题型考点分析一、 主要考试知识点1、 求特殊角度 （难度系数：）2、 证明相等的角 （难度系数：）3、 证明相似三角形 （难度系数：）4、 证明相等线段 （难度系数：）5、 证明线段乘积、比例关系 （难度系数：）6、 求线段（或图形面积）比值 （难度系数：）7、 求一些角度的三角函数值（实质上线段的比值） （难度系数：）8、 求特殊线段的长 （难度系数：）9、 求图形面积 （难度系数：）10、 求几何图形之间的函数解析式 （难度系数：）二、 解题思路分析1、 注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用）分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。2、 注意圆心角与圆周角的使用分析：对于圆心角和圆周角的2倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。3、 注意一些特殊角度的运用分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15、30、45、60、120、150等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。4、 直径对直角的运用分析：一般直径常连接90的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特殊角度（30、45、60）使用，能使计算更为便捷。5、 垂径定理的运用分析：对于直径上作垂线（或高），特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会产生相等的弦，进而出现相等的角。6、 切线与直径的关系的运用分析：说起切线，一定要连接接切点和圆，这样便会产生垂直，进而产生直角三角形，从而使思考简化。7、 全等三角形的运用分析：通过圆的对称性（轴对称、中心对称）、垂径定理、切线长定理思考图中全等三角形8、 相似三角形的运用分析：俗话说：“圆内盛产相似”。通过寻找相等的角，产生相似三角形，为成比例具备条件。特别是要注意圆内四点共圆（蝴蝶形）产生的几组相似。寻找相等的角可以考虑：（1）、是否有相等的弧、弦、弦心距等（2）、是否有弦切角（弦切角=其所夹的弧所对的圆周角）（3）、是否有四点共圆（对角互补，外角=内对角）（4）、两条相交弦产生的相似（圆幂定理-相交弦定理）（5）、切线和割线产生的相似（圆幂定理-切割线定理）（6）、两条割线产生的相似（圆幂定理-割线定理）9、 射影定理的使用分析：在圆内常出现直径上作高的情况，这样射影定理便可以直接运用了，省去了相似的步骤。射影定理中的“知二求四”特别是在计算一些直径上的线段时非常方便。10、 弦切角定理的使用 分析：圆中有切线时，除了考虑垂直关系外，也要特别关注弦切角与圆周角的相等关系。使用弦切角定理能够省去一些等量代换求角相等的步骤。11、 切割线、割线定理的使用（实质上也是相似三角形的推广）分析：对于圆中即有切线又有割线的情况，特别要考虑切割线、割线定理定理。这是计算圆中线段中必不可少的方法之一。直接运用切割线定理、割线定理比使用相似来分析要节省思考时间和空间。12、 勾股定理的使用分析：当圆中出现垂直，特别是不与直径垂直的情况时（与直径垂直时常用垂径定理），常考虑勾股定理的运用，结合一些特殊角度，能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，在计算圆中线段的长中有非常重要的作用。13、 连心线与公共弦的运用分析：当有两圆相交时，公共弦和连心线是必不可少的思考方向。这两条特殊线段包含着两种特殊关系，即垂直又平分（位置关系：垂直 数量关系：平分），往往成为解题的入手点。14、 余弦定理的使用（实质上是勾股定理的推广）分析：在计算圆中线段时，有时使用余弦定理比较方便，特别是知道两边和夹角，求第三边时常用这种方法（不管夹角是否为直角）。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是直接使用也能节约思考的时间和空间（既使计算过程有些繁杂）。只是余弦定理公式较为复杂而已（复习一下：，注意：钝角的余弦值为负数）。15、 角平线成比例的运用（实质上也是相似三角形的推广）分析：圆中经常会出现相等的角，有时还会有角平分线。此时用角平分线成比例定理可以使思考简化，在计算线段中收到意想不到的效果16、 不规则面积的综合加减计算分析：圆中经常会出一些图形面积的计算。有的可以直接求（常用的面积公式：底高 底高 对角线乘积的一半 上下底和的一半高 中位线高 两边与夹角正弦乘积的一半 周长一半与内切圆半径之积 （圆面积为： ） 边长的平方 长宽 水平宽度与竖直高度乘积的一半 等），有的只能间接求，用其他图形的面积的和与差来计算。如：总面积部分面积，或几部分面积的和等。三、 中考例题分析1、（2013年四川成都，27题10分）如图，的半径，四边形内接圆，于点，为延长线上的一点，且.（1）试判断与的位置关系，并说明理由：（2）若，求的长；（3）在（2）的条件下，求四边形的面积.思路点拨：（1） 实质上这就是弦切角定理的逆命题，但不能用弦切角定理来证明。只能用弦切角定理的证明方法来证。连接DO并延长交于点，再连接AE即产生RtADE。通过等量代换于是PDDE即得证。（2） 通过分析RtADH中的正弦值，引入一个参数，得到AH、DH的值、，利用PA和AH的比值，求出PA和AH的值（含的代数式）。再用勾股定理求出PD的值（含的代数式）。这样分析PD和DH的值，发现一个特殊角度（DH=PD）。再用弦切角=圆周角求出DCB的度数，从而分析出圆心角DOB的度数，又已知了半径，所以利用勾股定理和特殊角度，可以求弦长（BD）。（知识点梳理：圆内六组数量：直径（半径） 弦长 弦心距 圆心角 圆周角 弧长 任意知道两组数量，就可以求出其他数量）只是此题中圆心角的度数要通过圆外RtPDH和弦切角来求得，可谓来之不易！（3） 显然利用对对角线乘积的一半可求出四边形ABCD的面积，转而全力求AC的长。由相似三角形可得BH：HC=3：4。（BH=BDDH），于是可以用含的代数式表示HC，再代入切割线定理表达式中可得含的方程。解之求出值，从而求出AC的值，于是四边形ABCD的面积就求出了。要点：对于引入一个参数的方法越来越重要！有了参数计算就简单了，而且通过图中数量关系，最终也要求出参数的具体值。2、（2012年四川成都，27题10分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长思路点拨：（1） 实质上是证等角。连接BG是必须的！直径对直角！再以现弦切角等圆周角。又观察发现两直角三角形相似，等量代换，等角证毕！（2） 一看就知道由相似下手，连接GD又是必须的！（含KG2=KDGE的三角形），从而等角又产生了，再用等弧代换一下，于是内错角相等了，结论也就不言面明了。（3） 通过sinE得出sinC。从而得到RtAHC三边的关系，引入一个参数。于是AH、CH、AC均可以用含的代数式表示。又（1）易知AC=CK，于是HK又能用含的代数式表示，勾股定理可求出AK，从而确定参数的值。由射影定理求出AB。由相似求出AG的值。再利用“X”形相似求出GE、KE的值。从而得到HE的值。再利用一次“X”型相似，求出EF的值。二者之差即为FG的值。（说明第三问多次利用相似，可见难题用相似是多么的正确！中间也利用了勾股定理和射影定理。需要说明的是引入参数代入分析，最后再把引入的参数求出来的这种方法在解题中越来越重要。）3、（2012年四川成都，27题10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作O，O经过B、D两点，过点B作BK A C，垂足为K。过D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H(1)求证：AE=CK； (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：(3)若F是EG的中点，且DE=6，求O的半径和GH的长思路点拨：（1） 全等即可。（2） 利用勾股定理求出斜边AC，再利用射影定理可求出斜边上的高BK。（3） 由垂径定理可得：DE=GE=2EF=6，于是可分析出EF=3。利用在RtAFD中由射影定理可求出AE的长，又在RtADC中由射影定理可求出AC的长，也就是直径。（两次使用射影定理）。然后由勾股定理可以分别求出DC、AF的长度，进而求出BF的长度。再次利用“X”形相似求出HF的长度，减去DF（和EF相等）即为HG的长。要点：第三问多次利用相似（射影定理其实也是相似的产物）和勾股定理求出相关的线段，然后进行加减即可。4、（2010年四川成都，27题10分）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是弧AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、（1）求证：是的外心； （2）若,求的长；（3）求证：思路点拨：（1） 证明P点是RtACQ斜边上的中点即可。关键是寻找角相等（证明等腰三角形）。注意图中有几段弧相等即可。（2） 解直角三角形可求出线段BF的长，射影定理再次登场，求出AF的长。勾股定理求出AC的长。利用相似三角形（ACQACF）可求出CQ。（3） 显然是典型的相似思路。通过（1）问知道：FP+PQ=CF，原式即化简为，三线一条线，显然需要代换线段。射影定理又一次发挥功用。显然，这样原式再次化简为：。容易发现两三角形相似即可（APFGBF） 要点：多次利用射影定理和相似知识！5、（2009年四川成都，27题10分）如图，RtABC内接于O，AC=BC，BAC的平分线AD与0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若，求O的面积。思路点拨：（1） 用等腰三角形“三线合一”即可证明。（2） 用全等证明（RtACE和RtBCF）（3） 显然是典型的相似思路。连接OD，易发现BDE和OGD相似。通过比例代换。则已知条件中的乘积式可换为。再分析角平分线可得DB=2DG。于是求出了弦DB的长。知道弦长求半径。显然需要圆心角。ABC为等腰直角三角形。于是弦DB所对的圆心角为45的特殊角。作高即产生特殊直角三角形。过D作DHAB于H。则DH=OH=。BH=，于是代入RtDBH中（前面DB已求出），用勾股定理列方程即可求出（不必求出）的值。代入圆形面积公式即可。要点：第三问较难，用相似是必须的！到了求出弦DB和它所对的圆心角时，由于用常规手法（垂径定理）作高，会产生22.5的非特殊角，无法下手。所以需另外作高，保留45的角，产生特殊直角三角形来分析！当然你如果能记得22.5的三角函数值，其实更为简单！6、（2008年四川成都，27题10分）如图，已知O的半径为2，以O的弦AB为直径作M，点C是O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2.（1）求C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tanABC=y，=x（0x3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.思路点拨：（1） 是一个常规题：知道半径和弦长求圆周角（圆心角）。垂径定理即可解决。（2） 由割线定理可得相似（CDECBA），关键CE：CA的值，图中有直径，连接AE产生直角三角形是必须的。C已求出，于是RtACE是特殊的直角三角形，它们的比值就容易求出。于是DE：AB的比值也就确定了，DE能求出。（3） 是一个比值：，AE在RtACE中，显然与AD、DC有关，BE在CB边上，由前面相似可得BC与CD、CE有关，关键是如何理清这些错综复杂的关系。为了便于理解，不妨设CE=2，则可求出AC的值为4，则AE=2。又设，则CD=3，CB=6，则BE=4。于是就可以求出了。通过分析知道：CE这条线段在解题中的桥梁作用，不妨设CE=，则AE、AC都可用含的代数式表示。利用=，求出CD的含、的代数式，再用相似表示出BC的代数式（含、），进而求出BE的代数式（含、）。于是 就可以求出来约去，就能用含的代数式表示了。要点：对于较复杂的第三问，不妨先设一个好计算的数，代入计算后，找出思路和方法，然后再用字母分析！这是解决难题的一种比较常见的思考方向！7、（2007年四川成都，27题10分）如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，且的半径长为，求和的长度ODGCAEFBP思路点拨：（1） 易知ADBE，立刻联想到“A”形相似，由成比例的线段代换即可（AG=DG）（2） 有直径，连接AB是必须的！同时连接OA也是必须的！连接OF证OBFOAF（SSS）即可！（3） 分析已知条件可知：AFG是等腰三角形。作底边上的高是常见的思路！这样会产生“X”相似。通过AG=DG和“三线合一”可求出相似三角形的相似比，从而求出BD的长。再用射影定理求出AD。再由中点求出DG。再使用一次相似（RtCDGRtCBF）求出BF，即为FG。要点：第三问作高产生相似，多次使用射影定理和相似知识。8、（2006年四川成都，27题10分）已知：如图，与相交于两点，分别是两圆的圆心，内接于，弦交于点，交的直径于点，连结（1）求证：；（2）求证：（3）若，的直径分别为，且，求和的长AEODCBGF思路点拨：（1） 常规解法：寻找角相等即可！图中有很多同弧所对的圆周角相等。（2） 注意两圆相交，连心线垂直公共弦，同时使用垂径定理即可得：弧AC=弧AD，（这种隐含条件特别重要！）易得ACG=CBA，于是有了相似，比例线段一转换即得证！（3） 直径上作高。射影定理是必须的！由射影定理可求出CF。进而求出CD。再由已知条件中的1：4可求出CG、FG、DG。再由勾股定理可求出AF。通过AF和FG可得BAE是特殊角！于是知道直径（AE和圆周角BAE）求弦AB就容易多了！再利用（1）中的相似，可求出BD的长。要点：第三问多次利用射影定理、勾股定理和相似求出相关线段。最后回归常规钥匙方法！对于圆中线段1：4的这种情形，是出题的热点方向，要特别注意！（07年、12年也有）9、（2005年四川成都，27题10分）如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线上一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB。求证：DE是O的切线；若AB6，AE，求BD和BC的长。思路点拨：（1） 连接OC是必须的！证OCAE或OCE=90或OCD=90都可以。（2） 易发现RtOCDRtAED、RtABCRtACE 利用比例线段即可求出OD和AC，进一步就可以求出BD和BC了！四、 经典圆形综合题点拨1、如图，已知AB为O的直径，过O上的点C的切线交AB的延长线于点E，ADEC于点D且交O于点F，连接BC，CF，ACOCFEABD（1）求证：BCCF；（2）若AD6，DE8，求BE的长；（3）求证：AF2DFAB2、已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；COABC图3DP（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB4PDCOABP图1COABP图23、如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；（2）过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2DO2；（3）在（2）的条件下，若SAO2D 1，求SO2DB 的值DO1ABECO24、在ABC中，分别以AB、AC为直径在ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：DO1FFO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若ACB90，DB5，CE3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA求证：PA是半圆O1的切线图3AO1CBO2EDFPQAO1CBO2EDFPQ图2AO1CBO2EDF图15、如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BDx，DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域AECDOB6、如图，O的半径为6，线段AB与O相交于点C、D，AC4，BODA，OB与O相交于点E，设OAx，CDyABDCEO（1）求BD的长；（2）求y关于x的函数关系式，