§2.3二次涵数与幂函数

1.二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.2.二次函数的三种表示形式,(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0).(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,3.二次函数的图象和性质(1)图象:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是以直线x=-为对称轴的抛物线,其开口方向由a的符号确定,顶点坐标为.,(2)性质:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间以顶点的横坐标-分界.若a0,则x时,f(x)单调递减,x时,f(x)单调递增.若a0,m,nN*,且n1).(5)负分数指数幂:=(a0,m,nN*,且n1).(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.6.幂的运算性质(1)aras=ar+s(a0,r,sQ).7.函数y=x(R)叫做幂函数.8.在幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=、y=x-1中,为奇函数的是y=x,y=x3,y=x-1,为偶函数的是y=x2;定义域为R的是y=x,y=x2,y=x3,定义域为0,+)的是y=;在第一象限内是增函数的是y=x,y=x2,y=x3,y=,是减函数的是y=x-1.,9.幂函数的性质(1)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都通过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.c.在第一象限内,1时,图象是向下凸的;0cbaB.abcdC.dcabD.abdc,答案B根据幂函数的性质及图象知选B.,4.已知y=f(x)为二次函数,且f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式.,解析设f(x)=ax2+bx+c(a0),因为f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,所以解得a=,b=-,c=-5,故f(x)=x2-x-5.,典例1(2014运城模拟)已知x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(2,+)C.(0,+)D.(0,4)答案A解析二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=.x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒成立,f(x)最小值0(x-1,1).当-1,即a-2时,f(-1)=1+a+0,解得a-,与a-2矛盾;,二次函数,当1,即a2时,f(1)=1-a+0,解得a2,与a2矛盾;当-11,即-2a2时,=(-a)2-40,解得0a2.综上得实数a的取值范围是(0,2),选A.,1.二次函数最值问题常见类型及处理方法解决二次函数求最值问题,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a0)的形式,得顶点(m,n)和对称轴方程x=m,再结合二次函数的图象求解,常见类型有三,种:(1)顶点固定,区间也固定;(2)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外;(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调性,从而确定函数的最值.,2.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,它们通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.,1-1已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.解析(1)由题意知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,得,即-m-.,图,(2)由题意知,抛物线与x轴的交点均落在区间(0,1)内,如图所示,得即-g(x);f(x)=g(x);f(x)1或xg(x);当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);当-1x1且x0时,f(x)g(x).,1.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,只要作出幂函数在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.,2.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小的问题.,3.幂函数的图象最多只能同时过两个象限,一定过第一象限,一定不会过第四象限.若幂函数为偶函数,则同时过第二象限;若为奇函数,则同时过第三象限.若幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.,2-1已知幂函数f(x)=(mN*)的图象关于y轴对称,