02第二章极限与连续

蚂蚁第二章极限和函数蚇一、本章学习要求和内容摘要蜇(1)学习要求叶子1 .理解极限的描述性定义横膈膜2 .理解无限小、无限大的概念及其相互关系和性质莆3 .用两个重要的极限公式求极限元4 .把握界限的四则算法蕨5 .理解函数在一点上连续的概念，知道断续点的分类玫瑰6 .知道初等函数的连续性和连续函数在闭区间的性质(最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理)管脚7 .用函数的连续性求极限蚌重点界限的求法、两个重要界限、函数是一个有点连续的概念难点不连续点的分类，分段函数在分段点的连续性(2)听内容的摘要1 .极限的定义蝾螈(1)函数极限、数列极限的描述性定义莇极限定义表蜇型蝾螈描述性定义卫极限符号蝾螈函数由某个正实数)定义，当自变量的绝对值无限大时，对应的函数值无限接近某个一定的常数时，称为函数的极限节或函数被定义为某个实数)，当自变量无限大时，对应的函数值无限接近某个一定的常数时，被称为函数的极限义规或柔软的函数(某实数)有定义，当自变量无限变大，并且对应的函数值无限接近某一定的常数时，被称为函数的极限义又蕨设定函数被定义在点的向心附近，当使自变量无限接近时，对应的函数值无限接近一定的常数，这被称为此时的函数的极限义又在点的左半附近定义更新函数。当参数在该半附近从左接近无限远时，对应函数值无限接近恒定常数称为接近时间函数的左极限虾或在阿塞伯函数的右半部分附近有定义，并且当自变量在该左半部分内从右向无限接近时，对应的函数值无限接近给定常数称为接近时间函数的右边界肇或蚇数列的极限管脚数列，自然数无限大时，通项无限接近某个决定的常数时，被称为数列的极限，或称为数列收敛或者如果不存在管脚数列的极限，数列就称为发散什么都没有袆(2)单侧极限与极限的关系定理肃的充分必要条件是芑的充分必要条件是管脚(3)的界限有标准QQ单调有界数列极限的存在定理袂单调有界数列有限莇夹子强制标准蕨当时有，并且罗剪辑强制基准在自变量的其他变化过程中也成立蚀刻2 .极限四则算法无论有没有蚂蚁义(1)蒂(2)虱(任意常数)蝾螈(3)上述界限四则算法对于自变量其他变化过程中的界限也同样成立管脚3 .两个重要的界限茎(1)的一般形式是(其中代表的任意函数)袁(2)蝾螈的一般形式是(其中代表的任意函数)虱4 .无限少量和无限大量芔在探讨无限少量和无限大量的概念及其相关性质时，以所有的极限变化过程为例。 其他极限变化过程，有完全相似的结论(1)无限少罗是一个有自变量的变化过程，把以零为界限的变量称为这个界限过程的无限小，简称无限小。 例如，如果是这样的话，就称为无限小。注意，通常，无限小表示不是变量的大小，而是变量的变化状态，并且不管一个变量多么小也不是无限小的，并且整数零是唯一可以是无限小的常数的。义(2)无限大在有自变量的变化过程中，绝对值能无限大的变量被称为这个变化过程的无限量，简称为无限大需要注意的是，无限大是不存在界限的状况，我们借界限的符号来表现为“当时无限大”。螃蟹(3)有无限少量和无限大量的关系肃然在自变量的变化过程中，无限大量的倒数是无限少量，非零的无限少量倒数是无限大量手臂(4)无限少量的运算蝌蚪是无限少量的代数和无限少量的玫瑰有限个无限少量的积是无限少量的蟑螂无限少量和有界量的积是无限少量的芙常数和无限少量的积是无限少量的横膈膜(5)无限少量的比较下表显示了两个无限少量的比较定义玫瑰无限少量的比较表在自变量的变化过程中，都是无限少的做无限小的比较蚓定义荪符号莀()管脚()(6)极限和无限少的关系定理袴的充分必要条件是，其中有当时的无限少量义(7)无限小的替代定理薆设当时，莄5 .函数的连续性蚂蚁函数有点连续的概念听函数在一点上连续的两个等价定义：定义一个函数在点附近定义，如果参数的增量为零，则对应函数的增量也为零，即蟑螂莀则函数在点上是连续的或被称为连续点如果腿的定义是2，据说函数是点连续的如果有莈左右连续的概念，函数在点上被称为左连续的年轻薄时，函数在点上被称为右连续蒂函数在一点连续的充分必要条件芜霍函数在点连续的充分条件是在点左连续和右连续两者从玫瑰可以看出，函数在点上连续，必须同时满足以下三个条件mm函数是在有点的附近定义的存在管脚这个极限等于函数值函数在区间上连续的概念蚯蚓在区间上的所有点连续的函数被称为该区间上的连续函数，或者在该区间上函数相连当连续区间包含端点时，函数在右端点连续是左连续，在左端点连续是右连续.断续点如果莇函数在点上不连续，则将点称为函数的不连续点蒂断续点的分类蝾螈设定的断续点，当时如果存在左极限、右极限的话，就被称为第一类断续点，否则被称为第二类断续点葿在第一类断续点上有以下两种情况，蝾螈全部存在，但不相等的情况下，被称为跳跃不连续点袴存在，但极限不相等时，称为可去断续点蟑螂初等函数的连续性定理玫瑰基本初等函数在其定义域中是连续的。 所有初等函数在其定义区间中是连续的上衣闭区间中连续函数的性质蕨最大值和最小值存在的定理闭区间上的连续函数一定能得到最大值和最小值蕨根的存在定理为闭区间上的连续函数，且存在至少一点异常信号蚋介值定理是闭区间上连续函数，且对于介入的任意数至少存在点.二、主要解题方法肃1 .求函数极限的方法(1)(2)利用莀利极限存在的充分必要条件求极限蝾螈例1求出以下函数的界限蚯蚓蝌蚪(2)为什么有值，存在于界限莃解(1)袈肇因为左界限不等于右界限，所以不存在界限(2)由于函数在分段点两侧的公式不同，所以一般考虑分段点的左界限和右界限.大头针掌握义气蒂为了使其存在因此，=1时不存在，=1.袁摘要求包含绝对值的函数和段函数在边界点上的界限，存在左右界限，且仅在相等的情况下存在界限，否则不存在界限蟑螂(3)利用极限算法求极限求例2次函数的极限销(1)、(2)、(3)为蒄(4)袂解(1)=。蝾螈(2)当时，分子、分母极限为零，为表现型，不能直接利用商的极限规律，可以约定分解因子，使分子分母为零的公因子，利用商的规律衿原式=奎伊(3)当时不存在界限，是式表现型，不能原封不动地使用“差的界限等于界限的差”的算法，先进行通分化简单后再可以使用商的算法义原式=膁莇(4)当时，分子分母没有界限，呈形式。 没有必要同时分割分子分母作出贫穷的承诺，用法则寻求聊原式=薂摘要()在应用极限算法来求极限时，如果不注意各极限的存在就不能应用(对于除法分母的极限不是零)。胄(II )求函数的界限时，经常有的情况等，不能原封不动地应用界限算法，必须对原式进行恒等变换、简化后再求界限。 常用的是以下几种方法罗()对于模，多先求通分，简化，求界限肂()对于不合理的分式，分子、分母有理化，消除公因性，求界限羂()对分子、分母进行因子分解，求出极限蒂()对于当时的模型，分子分母可以同时除以分母的最高幂，可以求出极限利用肇(3)无限小的性质求极限求管脚例三次函数的极限腿(1)、(2)为了求出该式极限，横膈膜解(1)需要通过无限小和无限大的关系定理来解决，因此，当时是无限小，所以其倒数为无限大.蝌蚪(2)不能直接应用极限算法。 虽然当时的分子、极限不存在，但有界函数，也就是当时无限少。 有界函数和无限小积是无限小定理节日玫瑰总结利用无限小和无限大的关系，可以求出某种函数的极限(分母极限为零，分子极限存在的函数的极限)。 有界函数和无限小的积利用无限小定理可得到一种函数的极限(有界量和无限小的积的函数极限)。义(4)利用两个重要的界限求函数的界限玫瑰例4求出以下函数的极限叶(1)、(2)。束缚解(1)分子先用和差化积式变形，再用重要的极限式求极限莈原式=.莄(2)解一原式=蒂解二原式=利用莞的总结()求极限时，函数的特征是型、满足的形式，其中有相同的变量在听()用求极限时，函数的特征型幂指数函数的形式是型的莇无限少量，指数无限大，两者正好倒数蕨()在用两个重要的极限式求极限时，多用三角式和代数式来进行一定的变形或制作奎伊变量进行置换，使之成为重要界限的标准形式。元(5)利用等效无限小置换求极限袴的常用等价无限小那时蚓梁例5求次函数的极限虾(1)、(2)。蝾螈解(1)=()肃(2)=蒁=()。虽然摘要可以利用等价无穷小来替换整个分子或分母，或者分子或分母中的因子，但是一般而言，如果分子或分母是多项式，则不能替换其中的一个。 否则，就会出错。以上的问题，会是错误的结果(6)利用函数的连续性求极限例6求下一个函数的极限(1)、(2)。因为解(1)是初等函数，所以在那里有定义所以(2)函数看起来很复合，利用分子进行理化，然后，利用复合函数，用求极限的法则进行运算=.用“函数连续的极限值是函数值”求连续函数的极限。 在一定条件下复合函数的极限，极限符号和函数符号可以交换顺序2 .用于确定函数连续性的方法由于初等函数在其定义区间中总是连续的，所以函数的连续性经常讨论分段函数在分段上的连续性例7讨论函数点上的连续性由于在分段点函数两侧的公式不同，所以一般考虑分段点的左界限和右界限.所以也就是说，从函数在一点连续的充足条件中，知道在哪里连续三、学习法律建议1 .本章的要点是极限求法和函数在一点上连续的概念，特别是求极限的方法、灵活性多