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文档简介

2.闭区间上连续函数的性质。实数完备性理论的重要功能之一是证明。第一，最大和最小定理，已经在第四章中给出。开区间上连续函数的性质，这些性质，三，一致连续性定理，二，中间值定理，首先，看一个公共定理。如果f(x)在闭区间a，b上是连续的，那么用两种方法证明f(x)。第一种方法使用有限覆盖定理。由于a，b中的f(x ),即第一、最大和最小定理，局部有界性被转化为全局有界性。性质上的每一点都是连续的，因此是局部有界的。我们的任务是覆盖闭区间a，b。从有限覆盖定理出发，它存在于h中，显然，在有限开区间中，第二种证明采用了紧性定理。因为xn是有界的，所以有一个收敛的子序列。为了书籍和写作的方便，可以假设xn收敛于自身，因此f(x)在a，b上是无界的，而f(x)是无界的。因此，有一个矛盾。最大和最小定理(定理4.6)可以从分解原理中得到。如果函数f(x)在a，b上，则证明函数f(x)在a，b上是连续的，因此它是有界的。真理是由确定性定义的，f(x)在a上，b上的值的范围有一个上限。假设上限是连续的，f(x)取a，b的最大值和最小值。它在a，b上是连续的，因此是有界的。因此，有G0。因此，在a，b上，m和f(x)的上界之间存在矛盾。这证明了上界m和下界m都是可接受的，并且最小值。也就是说，m和m是a，b上f(x)的最大值和最小值，(定理4.7)让函数f(x)在闭区间a，b上是连续的，并在第4章中证明我们用定则证明了这个定理。现在我们用区间集定理来证明.2。中值定理，F (a) f (b)。将a，b分成两个区间a，c，c，b。如果F(c)=0，向下并得到一系列闭合子区间。区间端点的值不同。这个过程无限期地进行，F(c1)=0，这已经被证明。另外，还已知函数F(x)在两个区间之一中，并且a1，b1被等分为两个区间a1，c1，c1，b1。如果端点的值不同，该间隔记录为a1，b1。事实再次证明了这一点。否则，函数F(x)在这两个区间中有一个区域，这是区间集定理所唯一的。an，bn，满足：(定理4.9)如果函数f(x)在a，b上是连续的，那么f(x)是，证明(证明1)首先用紧性定理证明该定理。在下面的证明过程中，让f(x)在a，b上不一致连续，也就是说，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，因为xn是有界的，因此有.(方法2)并由有限覆盖定理证明，而f，考虑开区间的集合，则h是a，b的开覆盖
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