一元二次方程的解法-公式法资料.ppt

21.2.2一元二次方程的解法-公式法,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式,通常用表示.,判别式定理,当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根,当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,当b2-4ac0时,方程没有实数根,当b2-4ac0时,方程有两个实数根,若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac0,判别式逆定理,若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0,若方程没有实数根,则b2-4ac0,若方程有两个实数根,则b2-4ac0,一元二次方程根的判别式,应用1.不解方程判断方程根的情况：,(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数),(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为常数),=4(k2-4k+4)=4(k-2)2,解：=4k2-16k+16,0方程有两个不等实根,解：=m2-4m+8,=m2-4m+4+4=(m-2)2+4,0方程有实根,含有字母系数时，将配方后判断,根的判别式问题,1、不解方程，判断根的情况.,(1)2x2-4x-5=0;,(2)x2-(m+1)x+m=0.,=56,0,方程有两个不相等的实数根；,当m-1=0时，,0,方程有两个相等的实数根；,方程有两个不相等的实数根；,当m-10时，,解：,解：,2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.,例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,根的判别式问题,解：,一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,k0，,又,=4-12k,4-12k0，,解得,当,方程有实数根.,且,k0时，,例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=49,1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。,x=,即x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,求根公式:X=,4、写出方程的解：x1=?,x2=?,3、代入求根公式:X=(a0,b2-4ac0),(a0,b2-4ac0),x2=,填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0,解：a=，b=，c=.b2-4ac=.x=.=.即x1=,x2=.,3,5,-2,52-43(-2),49,-2,求根公式:X=,1.用公式法解下列方程：(1)x2+2x=5,(a0,b2-4ac0),细心填一填：,做一做,例2用公式法解方程：x2x-=0,解：方程两边同乘以3,得2x2-3x-2=0,x=,即x1=2,x2=-,例3用公式法解方程：x2+3=2x,解：移项，得x2-2x+3=0,a=1，b=-2，c=3,b2-4ac=(-2)2-413=0,x=,x1=x2=,=,=,=,=,当时，一元二次方程有两个相等的实数根。,b2-4ac=0,a=2，b=-3，c=-2.,b2-4ac=(-3)2-42(-2)=25.,2.用公式法解下列方程：,(4)4x2-3x+2=0,当时，一元二次方程没有实数根。,b2-4ac0,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,3、代入求根公式:,2、求出的值，,1、把方程化成一般形式，并写出的值。,4、写出方程的解：,特别注意:当时,方程无实数解;,3、练习:用公式法解方程:x2-2x+2=0.,1、方程3x2+1=2x中，b2-4ac=.2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则n=.,动手试一试吧！,0,-1或4,1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？,本节课我有哪些收获？,我认为本节课的重点是什么？,想一想记一记问一问,我还有哪些疑点？,课下可要多交流呦！,(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A、m0B、m0C、m0且m1Dm0且m1,解：由题意，得m-10=（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选D,D,应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围,(3)m为何值时,关于x的一元二次方程,m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？,解：=(2m+1)2-4m2,=4m+1,若方程有两个不等实根，则0,4m+10,m-1/4,对吗？,m-1/4且m0,注意二次项系数,问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根,证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157,=（m-11）2+36,不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根,小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式,3、证明字母系数方程有实数根或无实数根,例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.,把判别式配方,根的判别式问题,解：,0,方程有两个不相等的实数根；,问题四：解含有字母系数的方程。,解：,当a=0时，-5x+1=0 x=1.,当a0时，方程为一元二次方程.,【例5】已知：a、b、c是ABC的三边，若方程有两个等根，试判断ABC的形状.,解：利用0，得出a=b=c.ABC为等边三角形.,典型例题解析,例6.一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是_,变,抢答：,2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）,有两个实数根的方程的序号是（）没有实数根的方程的序号是（）,任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根,a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根,求根公式:X=,一、由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)若b2-4ac0得,这是收获的时刻，让我们共享学习的成果,小结:,这是收获的时刻，让我们共享学习的成果,二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：,1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:,X=,(a0,b2-4ac0),4、写出方程的解:x1=?,x2=?,这是收获的时刻，让我们共享学习的成果,四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错。,三、当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。,当b2-4ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。,当b2-4ac0时，一元二次方程没有实数根。,1、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程有哪四种方法？,知识回顾,凡形如ax2+c=0(a0,ac0)或a(x+p)2+q=0(a0,aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程;先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.公式法是解一元二次方程的通法.,解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流.,公式法是解一元二次方程的通法.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程;,因式分解法适用于某些一元二次方程,开平方法适用于缺项的一元二次方程;,课时训练,1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根,D,2.方程x2-3x+1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根,A,3.下列一元一次方程中，有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0,C,4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=1时，方程两根互为倒数D.当k1/4时，方程有实数根,D,课时训练,5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A.m1B.m1且m0C.m1D.m1且m0,D,7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k=.,2,8.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1