《高考数学第一轮复习课件》第18讲 导数的综合应用

新课标高中一轮总复习,第三单元导数及其应用,第18讲,导数的综合应用,1.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等.2.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法.,1.对任意实数x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0,g(x)0，则x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0D.f(x)0，所以f(x)在(0,+)上单调递增，所以f(x)在(-,0)上也是单调递增,即x0.同理，g(x)在(-,0)上单调递减，所以x0，在x1,+)上恒成立，所以a(x-).当x1时，y=(x-)是增函数，其最小值为(1-1)=0.所以a0).,第（1）问由函数f(x)与g(x)在公共点(x0,y0)处的切线相同，建立关于b的函数关系式，然后求出b的最大值；第（2）问求证f(x)g(x)(x0)，先构造函数F(x)=f(x)-g(x)(x0)，再证明在x0时，F(x)0成立即可.,(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.又f(x)=x+2a,g(x)=，由题意知f(x0)=g(x0)f(x0)=g(x0),即x02+2ax0=3a2lnx0+bx0+2a=,由x0+2a=得x0=a,或x0=-3a(舍去)，即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.,令h(t)=t2-3t2lnt(t0),则h(t)=2t(1-3lnt).由h(t)=0,得t=e或t=0(舍去）,列表如下：,于是h(t)在(0,+)上的最大值为h(e)=e，即b的最大值为e.,(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x0),则F(x)=x+2a-=(x0).故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+)上为增函数,由F(x)=0，得x=a或=-3a(舍去).列表如下：,于是函数F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x0时,有f(x)-g(x)0,即当x0时,f(x)g(x).,利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.,题型三导数在实际问题中的应用,受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x万元之间满足:y=x-ax2-ln,t,+)，其中t为大于的常数.当x=10时,y=9.2.(1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值.,例3,第(1)问把x=10,y=9.2代入函数式,即可求出a的值,得到y=f(x);第(2)问求f(x)在区间上的最大值,需要先讨论y=f(x)的单调性,确定取得最大值的区间和对应的x的值.,（1）因为当x=10时，y=9.2，即10-a102-ln1=9.2，解得a=,所以f(x)=x-ln.因为t且t，所以60，且f(x)在(6,50上连续，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当x(50,+)时，f(x)0且f(x)在50,+)上连续.,因此，f(x)在50,+)上是减函数.所以x=50为极大值点.当50，即t(,时，投入50万元改造时取得最大增加值；当650,即t(,+)时,投入万元改造时取得最大增加值.,本题的难点是求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值由第(1)问可知x的取值范围是(6，因此需要从研究f(x)在这个区间上的单调性入手，找到变量t所在区间上y取得最大值时x的值.利用导数知识作为解题工具研究函数的最值等，体现了导数知识在求解实际问题中的应用价值，需要考生多揣摩.,1.应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数.2.利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域.3.在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点.,(2009湖南卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?,(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m,即n=-1,所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+(2+)x=+m+2m-256.(2)由(1)知，f(x)=-+m=.,令f