二项式定理典型例题解析

二项式定理一律读文章范例1寻找二项式(a-2b) 4的展开。分析：使用二项式定理直接扩展。解决方案：根据二项式定理，(a-2b)4=ca4 ca3(-2b)Ca2(-2b)2 ca(-2b)3 c(-2b)4=a4-8a3b 24a2b 2-32ab3 16b4。说明：使用二项式定理时要注意相对号码，这个问题容易错误地忽略-2b的符号“-”。示例2扩展(2x-) 5。分析1:直接扩展到二项式定理。解法1:(2x-)5=c(2x)5 c(2x)4(-)c(2x)3(-)2 c(2x)2(-)3C (2x) (-) 4c (-) 5=32x5-120x2-。分析2:对于更复杂的公式，先简化，然后展开二项式定理。解决方案2: (2x-) 5=c(4x 3)5c(4x 3)4(-3)c(4x 3)3(-3)2c(4x 3)2(-3)3c(4x 3)()C (-3) 5=(1024 x15-3840 x12 5760 x9-4320 x620 x3-243)=32x5-120x2-。说明：解决与二项式定理相关的问题的前提是正确地记住和记住二项式(a b)n的展开。在更复杂的二项式中，有时简单地重新扩展会更容易。(范例3)在10的展开中，X6的系数为。解法1:根据二项式定理，X6的系数为c。解决方案2: (x-) 10展开的一般项目为tr1=cx10-r (-) r。10-r=6，r=4，X6条目T4 1=cx6 (-) 4=9cx6。X6的系数为9C。上述解决方案之一明显不同于解决方案2。那么，哪个是正确的呢？问题不是具有X6的二项式系数，而是求出具有X6的这个系数。因此，解决方案2必须正确。如果问题变更为具有X6的二项式系数，则解决方案1将正确。换句话说，c说明：查看二项式因子和指定因子之间的差异。二项式系数和项目的系数是与二项式指数和项目数相关的两个概念，与二项式、二项式指数和项目数相关。示例4已知的二项式(3-) 10，(1)寻找扩展的第四项的二项式系数。(2)寻找扩展的第四项的系数。(3)查找第四个项目。分析：直接扩展到二项式定理。解决方案：(3-) 10的展开样式为tr1=c (3) 10-r (-) r (r=0，1，10)。(1)展开项目4的二项式系数为C=120。(2)展开项目4的系数为c37 (-) 3=-7777。(3)展开的第四项为-77760()7，即-77760。说明：用3 (-) 10把10 (3-)写成二项式定理。范例5在二项式(x2 )10的展开中寻找常数。分析：展开的r 1项为c (x2) 10-r () r，要使其成为常量，必须根据x0=1，x0将“x”的指数设置为0。解决方案：将项目r 1设置为常量Tr1=c (x2) 10-r () r=CX () r (r=0，1，10)，20-r=0，r=8。t9=c () 8=。项目9是常数，其值为。说明：二项式展开式中的一个项目是常数，它不包含“引数”，通常以一般Tr 1的引数为0来求出常数。示例6 (1)查找(1 2x)7展开表达式中的最大系数；(2)查找(1-2x) 7展开表达式中的最大系数。分析：使用可扩展的一般公式，通过列出两个相邻系数之间关系的不等式，可以获得查找最大值的系数表达式。解决方案：(1) r 1系数最大也就是说简单地说，0r7，r=5。系数的最大值为T6=C25x5=672x5。(2)解决方案：展开模式中有8个项，最大系数为正项(从第一、第三、第五、第七项获取)。此外，由于(1-2x) 7括号内两个系数中最后两个系数的绝对值大于前一个系数的绝对值，因此系数最大值位于中间或右侧，因此只需比较T5和T7的两个系数大小。= 1。因此，系数最大值为第五个项目，即T5=560x4。说明：在本例中，(1)的解决方案是求最大系数的一般解法，(2)的解决方案是通过多个展开的解释简化问题解决过程，并使其相对简洁。示例7 (1 2x)在n的展开中，第六项等于第七项的系数，并查找展开中二项式系数最大的项和系数最大的项。分析：可以根据已知条件求n，然后根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项。解决方案：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，按问题C25=C26，n=8。(1 2x)8的展开中，二项式系数的最大值为t5=c (2x) 4=11120 x4。R 1系数设置为最大值5r6。r=5或r=6。系数最大的项目为T6=1792x5，T7=1792x6。说明：(1)寻找二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大。如果n是偶数，则中间项的二项式系数最大。(2)在扩展表达式中求最大系数和二项式系数的次数最多是不同的，根据每个系数的正负变化，通常采用行不等式，通过解不等式的方法求。要写文章示例8如果N-N *，(1)n=an bn(an，bn/z)，则bn值()A.奇数b .必须是偶数C.与bn的奇偶校验相反，与D. a具有相同的奇偶校验分析1:二项式定理等形式的定理可以扩大后调查。解决方案1: n=n bn，n bn=(1) n=c c()2 c()3.c () nbn=1c()2c()4.bn是奇数。答案：a分析2:选择题的答案是唯一的，可以使用特殊值方法。解法2:N-N * N *如果n=1，则(1)1=(1)，b1=1为奇数。如果选择N=2，则使用(1)2=2 5、b2=5作为奇数。答案：a(示例9)如果将10扩展为多项式，则合并同一类后的项目数为()A.11B.33C.55D.66分析：(x y z)10被视为二项式展开。解决方案：我们将x y z视为(x y) z，然后将其扩展到二项式，所有11“项”(x y z)10=(x y) 10-kzk。此时，因为“和”的每个z的指数不同，所以展开每个二项式(x y) 10-k，然后展开其他乘积c (x y) 10-kzk (k=0，1，10)展开不会显示相同的项目。然后，每个产品c (x y) 10-kzk (k=0，1，10)。每个乘积的展开项目数由(x y) 10-k确定，x和y的指数各不相同，不显示相同的项目。因此，原始扩展后的项目总数为11 10 9.1=66。答案：d说明：把三元变成二项式是解决三元问题的一般方法。示例10查找(| x |-2) 3展开模式的常数。分析：将原型变形为二项式清理标准形状。解决方案：x |-2) 3=(-) 6，展开图的一般项目为tr1=c () 6-r (-) r=(-1) RC () 6-2r。如果Tr 1是常数，则6-2r=0，r=3。展开表达式的第4段是常数，即T4=-c=-20。说明：有些不是二项式，但可以改为二项式的题目，可以切换到二项式，然后再解决。示例11在9扩展中找到合理的项目。分析：展开图的合理项目是一般公式中x的指数为整数的项目。解决方案：tr1=c (x) 9-r (-x) r=(-1) rcx。涅槃z，即4z和r=0，1，2，9 .r=3或r=9。R=3时=4，t4=(-1) 3cx4=-84 x4。R=9时=3，t10=(-1) 9cx3=-x3。在875 (-) 9的展开中，合理的项目为项目4 - 84x4，项目10-x3。说明：使用两种展开样式的常规Tr 1查找展开模式的特定条目。示例12如果(3x-1) 7=a 7x7 a6x6.a1x A0(1) a1 a2.a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6。分析：结果与系数相关，可以使用“特殊值”方法整体解决。解决方案：(1) x=0，A0=-1，x=1，a7 a6.a1 A0=27=128。a1 a2.a7=129。(2)命令x=-1，a7 a6 a4 a3a2 a1 A0=(-4) 7。结果：a1 a3 a5 a7=128-(-4) 7=8256。(3) A0 a2 a4 a6=128 (-4) 7=-8128。说明：(1)此解决方案使用“特殊值”方法，这是根据问题身份特性用于身份的重要方法。(2)通常，多项式g(x)=(pxq)n=A0 a1x a2 a3x 3 a4 x4 a5x 5 a6x 6 a 7x7，g(x)项的系数和g(1)，g(x)的奇数项的系数和【例13】证明以下几种(1) 12c 4c.2n-1c 2sc=3n；(2) (c) 2 (c) 2.(c)2=c；(3) c 2c 3c.NC=n2n-1。分析：(1)(2)与二项式定理的形式相同，因为可以使用数列和等二项式定理，所以可以研究其通项探索的规律。证明：(1)两种展开样式(a b) n=can-1b can-2b2.在cabn-1cbn上，顺序a=1，b=2，已取得(1 2) n=1 2c 4c.2n-1c 2sc，也就是12c 4c.2n-1c 2sc=3n。(2)(1 x)n(1 x)n=(1 x)2n，1 cx2.cxr.xn (1 cx2.cxr.xn)=(1 x) 2n。c是(1 x)2n的展开方程中xn的系数，通过多项式的恒等式定理得到Cc cc.cc cc=Cc=c，0mn，2(c)2(c)2=c .(3)证明1:命令s=c 2c 3c.NC .S=c 2c.(n-1) c NC=NC (n-1) c.2c c=NC (n-1) c.2c . c .2s=NC NC NC=n(c c c.c)=n (c c c.c)=n2n。s=n2n-1，即c 2c 3c.NC=n2n-1。证据2:观察项目：KC=K预设=常闭接点，常闭接点，常闭接点.NC=n (c c c.c)=n2n-1，C 2c 3c.NC=n2n-1。说明：在解决方案2中，kC=nC可以作为特性记住。寻找1.9975到0.001之间的近似值。分析：二项式定理的正确使用必须除以2的和，如1.997=2-0.003。解决方案：1.9975=(2-0.003) 5=25-c 240.003 c 230.0032-c 220.0033.32-0.24 0.00072-31.761。说明：在近似计算中使用二项式定理的关键是为了满足近似计算的精度，在扩展中决定保留。示例15验证：5151-1可分为7。分析：要表示展开模式中7的倍数，必须将51分解为与7的倍数不同的总和(或差值)的形式。证明：5151-1=(49 2) 51-1=c 4951 c 49502.c 49250 c251-1，很容易看出除了C251-1，所有东西都可以被7整除。251-1=(23)17-1=(7 1)17-1=c717 c716.C7 c-1=7 (c716 c715.c)。显然可以被7整除，所以5151-1可以被7整除。说明：用二项式定量证明多项式(数字)的除法问题的关键是，通过一定的各向同性变形将给定多项式改为二项式，使展开的每个项目都包含除法。创作新片示例16已知(xlgx 1)n的展开的最后三个系数之和为22，中间为20000。取得x。分析：这个问题看起来比较复杂，但用二项式定理准确地表达出来就不难解开了！解决方案：N2 n-42=0。n *和n * n *和n=6。T4为中间，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000。xlgx=10。Lg2x=1、lgx=1、x=10或x=。说明：当主题知道二项式展开的部分或特定项之间的关系时，经常使用二项式通用公式根据已知条件列出等式或不等式来解决。(示例17)如果x的扩展系数和11存在，则设置f(x)=(1 x)m (1 x)n(m，N求这个最小值。分析：根据已知条件，x2的系数是关于x的二次表达式的，然后利用二次函数特性探讨最小问题。解决方案：c c=n m=11.c c=(m2-m N2-n)=，Nn=6或5，m=5或6时，x2项目系数最小，最小值为25。说明：这个问题是关于二次函数和组合的综合问题。(范例18)如果n的展开方程式为-20，则取得n。分析：当问题中的x0，x 0时，将三元(x-2) n转换为(-)2n；如果x小于0，则等于(x-2) n=(-1) n (-) 2n。然后以包含x的幂指数为0的n。解决方案：当x 0时，(x-2) n=(-) 2n，该术语为tr1=c () 2n-r (-) r=(-1) RC (