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文档简介

,四.齐次线性方程组有非零解的充分条件,例3.解齐次线性方程组,第1章行列式和线性方程组的求解,1.4线性方程组的求解,第1章行列式和线性方程组的求解,1.4线性方程组的求解,定理1.5齐次线性方程组,有非零解当且仅当系数行列式等于0.,一.矩阵的线性运算,1.加法:,两个同型矩阵A=aijsn与B=bijsn的和C定义为:C=cijsn=aij+bijsn.,注:零矩阵,记为Osn,简记为O.,负矩阵.,同型矩阵A,B的差:A+(B),记为AB.,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,2.1矩阵的代数运算,2.数乘,数k与A=(aij)sn的乘积:(kaij)sn,记为kA.,注:矩阵加法和数乘统称为矩阵的线性运算.,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,3.性质,定理2.1设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,二.矩阵的乘法,例.某厂家向三个代理商发送四种产品.,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn,其中,记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,注:只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.即使AB和BA都有意义,但AB与BA也未必相等.,例如:,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,定理2.2设k是数,矩阵A,B,C使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义且等式成立,(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).,2.性质,结合律的妙用:,设A=BC,我们可以定义A的正整数幂,A1=A,A2=AA,Ak+1=AkA,问:对于这里的A,A2009=,?,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,一般的有,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,当A是方阵时,还可以定义A的多项式:,设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,规定：f(A)=anAn+an-1An-1+a1A+a0E,三.矩阵的转置,为A的转置.,则称矩阵,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,定理2.3矩阵的转置运算满足如下性质,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.,四.几种特殊的矩阵,1.对称矩阵,2.对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵,反对称矩阵,克罗内克(Kronecker)记号:ij,2.性质,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,第2章矩阵,2.1矩阵的代数运算,五.复矩阵
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