3.5素理想与极大理想

3.5素理想与极大理想(3.5ElementIdealandMaximumIdeal),我们知道,R的同态像R均同构于R的商环,RRR/I.因此,只要找出R的一切理想I,也就找出了R的所有同态像.本节我们研究R的同态像为整环或域的情形.即研究R中那些理想I,R/I为整环?哪些理想I,R/I为域.本节始终假定R1的可换环.3.5.1素理想(ElementIdeal)Def:设R是的可换环,I是R的理想,若对a,bR,abIaI或bI,则称I为R的素理想.,例1:设R是整数环Z,p是素数,I=.则I是R的素理想.事实上,设a,bR,abI,则p|(ab)p|a或p|b,即aI或bI.,有了素理想的概念,可以回答上面的第一个问题.Th1:设R是可换环,I是R的理想,则R/I是整环I是R的素理想证明:)R/I是整环,a,bR,abI,由于(a+I)(b+I)=ab+I=I,故a+I=I或b+I=I,即aI或bI,从而I是一个素理想.)反之,设I是素理想,在R/I中,假定有(a+I)(b+I)=I,则abIaI或bI,即a+I=I或b+I=I,即R/I没有真零因子,故R/I是整环.推论:具有单位元的可换环是整环0是素理想.,Th2:设R是具有单位元的可换环,则真理想P是素理想R的任理想I,J,若IJP,则IP或JP.,证明:)P是R的素理想,I,J是R的理想,且IJP,而IP,JP,则存在aI,bJ,aP,bP,但abIJP,这与P是素理想矛盾.)理想I,J,IJPIP或JP,但P不是素理想.则存在a,bR,aP,bP,但abP,令I0是由Pa生成的理想,J0是由Pb生成的理想.由于R是有单位元的可换环,从而I0=p+sa|pP,sR,J0=q+rb|qP,rR,因此I0J0=pq+prb+saq+tab|p,qP,t,s,rRP.但I0P,J0P,矛盾.P是素理想.,3.5.2极大理想(MaixmumIdeal),为了回答前面的第2个问题,首先介绍极大理想的概念.Def:设I是环R的理想,IR,若I真包含于R的理想M,则M=R.称I为R的一个极大理想.换句话说,除了I和R之外,没有包含I的理想.例:设R是整数环(Z,+,),p为素数,I=,则I为R的一个极大理想.因为若I理想M,则M一定包含一个不能被p整除的整数q.由于p是素数,(p,q)=1,故可找到整数s和t,使得sp+tq=1,但pI,而且I是理想,故1M,所以M=Z.由此可见,一个环可以有许多个极大理想.,Th3:设R是一个有单位元的可换环,I是R的一个理想,则I是R的极大理想R/I是域,证明:)I是R的极大理想,欲证R/I是域,只需证若a+I是R/I的非零元,则a+I可逆.命I=h+ax|hI,xR,则I是R的一个理想且II.由于I是极大理想,故I=R,由于1I,故存在hI,xR,使1=h+ax.于是1+I=h+ax+I=ax+I=(a+I)(x+I)即a+I在R/I中有逆元x+I,从而R/I是域.,)设R/I是一个域,M是R的真包含I的理想,下证M=R.,由于IM,故存在aM,aI,于是a+I是R/I的非零元,必有逆元存在,即存在xR,(a+I)(x+I)=1+I,即ax+I=1+I,但aM,IM,故axM,ax+IM