高三圆锥曲线经典总结

课题高考数学复习主题圆锥曲线教育目标1 .掌握三种圆锥曲线的定义、图像和简单的几何性质。2 .正确理解基本概念(直线的倾斜角、倾斜、距离、切片等)。3 .熟习基本式(例如两点间的距离式、点到直线的距离式、倾斜式、到得分点的坐标式、方程式、角度式等)。4 .熟练求直线方程式的方法(例如，根据条件灵活地选择各种形式，考虑斜率的存在和不存在的各种状况，截距是否为0等)。5 .要解决直线和圆的位置关系，必须善于利用圆的几何性质减少运算。6 .了解线性规划的意义和简单应用。7 .精通圆锥曲线中基本量的计算。8 .掌握与圆锥曲线相关的轨迹方程式的求出方法(例如：定义法、直接法、相关点法、参数法、横轨法、几何法、未定系数法等)。9 .把握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，可应用直线与圆锥曲线的位置关系解决常见问题。重点难点1 .掌握与圆锥曲线相关的轨迹方程式的求出方法。2 .把握圆锥曲线中基本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的一般判定方法。圆锥曲线的概念、方法、问题型、容易出错点和考试技术的总结1 .圆锥曲线的两个定义：(1)在第一定义中必须重视“括号”内的制约条件：在椭圆中，与两个定点f、f的距离之和等于常数，该常数一定大，常数相等时，轨迹为线段FF，在常数小时，在没有轨迹的双曲线中，与两个定点f、f的距离之差的绝对值等于常数=|FF|，轨迹是以f、f为终点的两条线，如果| ff |，轨迹不存在。 如果删除定义的绝对值，则轨道仅表示双曲线之一。(1)如已知定点那样，在满足以下条件的平面上的移动点p的轨迹中为椭圆的是A. B. C. D .(2)第2定义中注意定点和定直线是对应的焦点和基准线，“点间距离是分子，点间距离是分母”商是离心率。 圆锥曲线的第二定义指示了圆锥曲线上的点、焦点距离和与该点对应的基准线距离的关系，能够利用第二定义进行相互转换。对于已知点和抛物线上的移动点P(x，y )，y |PQ|的最小值为2 .圆锥曲线的标准方程式(所谓标准方程式，是中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程式):(1)椭圆：轴上有焦点的情况()(参数方程式，这里为参数)，轴上有焦点的情况=1()。 方程表示椭圆的满足条件是什么(ABC0，且a、b、c是相同的编号，AB )。(1)当已知方程表示椭圆时，的值范围为_ .(2)而且，最大值为_ _，最小值为_(2)双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：=1()。 方程式表示双曲线的满足条件是什么(ABC0，且a、b异号)。(1)双曲线离心率相等，与椭圆有共同焦点时，双曲线方程式_(2)如果以中心为坐标原点、焦点、坐标轴，离心率的双曲线c为过点，则c的方程式为(3)抛物线：开口为右、开口为左、开口为上、开口为下的情况。3 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先设为标准方程式后进行判断):(1)椭圆：由分母的大小决定，聚焦于分母大的坐标轴。如果已知方程式表示聚焦在y轴上的椭圆，则m的可能值的范围为_ _(2)双曲线：由项系数的正负决定，将焦点放在系数为正的坐标轴上(3)抛物线：把焦点放在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别注意： (1)解椭圆、双曲线问题时，首先焦点位置、焦点f、f的位置是椭圆、双曲线的定位条件，决定椭圆、双曲线的标准方程式的类型，方程式中的两个参数决定椭圆、双曲线的形状和大小，要解椭圆、双曲线的定形条件抛物线问题，首先必须判断开口方向4 .圆锥曲线的几何性质：(1)椭圆(例： ) :范围： 焦点：两个焦点对称性：两个对称轴，一个对称中心(0，0 )，四个顶点，其中长轴的长度为2，短轴的长度为2 瞄准线：两个瞄准线离心率：椭圆越小椭圆越圆椭圆越平。(1)在椭圆的离心率的情况下，的值为_ _(2)设以椭圆上的一点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为_1(2)双曲线(例： ) :范围：或焦点：两个焦点对称性：两个对称轴，一个对称中心(0，0 )，两个顶点，其中实轴长度为2，虚轴长度为2，特别是实轴和虚轴长度相等时，称为等轴双曲线，其方程式可以为瞄准线：两个(1)双曲线的渐近线方程式一样，双曲线的离心率为(2)双曲线的离心率为时=(3)在双曲线(a0，b0)中，如果离心率e ，2，则两条渐近线的角度的取法为(3)抛物线(例) :范围： 焦点：一个焦点，其中几何意义是从焦点到基准线的距离对称性：有对称轴，没有对称轴，只有一个顶点(0，0 )瞄准线：一条瞄准线离心率：抛物线。那么，抛物线的焦点坐标是5、点和椭圆()的关系： (1)点在椭圆之外(2)点在椭圆上=1 (3)点在椭圆内6 .直线和圆锥曲线的位置关系：(1)交叉：直线和椭圆相交的直线和双曲线相交，但直线和双曲线不一定相交。 直线和双曲线的渐近线平行时，直线和双曲线相交的交点只有一个，虽然是直线和双曲线相交的充分条件，但不是必要条件的直线和抛物线相交，直线和抛物线不一定相交。 直线和抛物线对称轴平行时，直线和抛物线相交的交点只有一个，所以只有直线和抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。(1)直线y=kx 2和双曲线x2-y2=6的右分支有两个不同的交点时，k能取的值的范围为_ _ _ _ _ (a )直线ykx1=0和椭圆常数有共同点时，m能取的值的范围为(3)通过双曲线右焦点的直线在a、b两点与双曲线相交，喀喀喀喀喀喀喀喀喀喀地6(2)切线：直线与椭圆相接的直线与双曲线相接的直线与抛物线相接(3)相分离：直线和椭圆的相分离直线和双曲线分离的直线和抛物线分离。特别注意： (1)直线和双曲线、抛物线只有一个共同点时的位置关系有正切和交叉两种情况。 如果直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线交叉，但交点只有一个；如果直线与抛物线的轴平行，则直线与抛物线交叉，交点只有一个(2)通过双曲线=1以外的点的直线和双曲线只有一个共同点：P点在两条渐近线之间不包含双曲线的区域时， 如果有两条分别与渐近线平行的直线和双曲线相切的切线，共有四个P点在两条渐近线之间包含双曲线的区域内，则有两条仅与渐近线平行的直线和双曲线之一相切的切线，共有四条P在两条渐近线上，但不是原点，而是两条。 一条是与另一条渐近线平行的直线，一条是切线P是原点的情况下，这样的直线不存在(3)通过抛物线外侧的点总是有3条直线和抛物线，共同点只有一条：与两条切线和对称轴平行的直线。(1)跨越点形成直线和抛物线只有一个共同点，这样的直线(2)有过点(0，2 )和双曲线，只有一个共同点的直线的倾斜的取法是(3)通过双曲线右焦点的直线与a、b两点交叉，如果是4，满足条件的直线有_条(4)抛物线c :如果我们满意的点在抛物线内部，点在抛物线内部，那么直线：与抛物线c的位置关系是(5)抛物线的焦点是直线，与p、q两点相交，线段PF和FQ的长度分别是(6)如果将双曲线的右焦点设为右基准线，将某条直线相交的左分支、右分支、右基准线设为，则和的大小关系为(7)求从椭圆上的点到直线的最短距离(8)直线和双曲线相交的两点。 为什么有值，在双曲线的两个上面？ 为什么有值时，以AB为直径的圆通过坐标原点？7、计算焦点半径(从圆锥曲线上的点p至焦点f的距离)的方法：使用圆锥曲线的第二定义转换为对应的准线的距离(即，转换为焦点半径)，并且表示从p至f的准线的距离。(1)可知从椭圆上的点p到椭圆的左焦点的距离为3时，从点p到右基准线的距离为_(2)抛物线方程式中，如果抛物线上的一点到轴的距离为5，则抛物线焦点的距离为(3)如果该抛物线上的点到焦点的距离为4，则点的坐标为(4)点p在椭圆上到左焦点的距离为到右焦点的距离的2倍时，点p的横轴为(5)抛物线上从两点a、b到焦点的距离之和为5时，从线段AB的中点到轴的距离为_(6)椭圆内有点，f为右焦点，椭圆上有点m，其值最小时，点m的坐标为8、焦点三角形(由椭圆或双曲线上的一点和两点构成的三角形)问题：总是利用第一定义和正弦、馀弦定理解决。 椭圆或双曲线上的一点到两个焦点的距离分别为，焦点的面积为，椭圆的话=，而且短轴的端点时，最大=； 立即为短轴端点时，最大值为bc。双曲线的焦点三角形有。(1)短轴长度为离心率的椭圆的两个焦点为、222-222-222-222-22652(2)以p为等轴双曲线右分支上的点，以F1、F2为左右焦点，|PF1|=6的话，这个双曲线的方程式为(3)设椭圆的焦点为F1、F2、点p为椭圆上的动点，设0时，点p的横轴能取的值的范围为(4)双曲线的虚轴长为4，离心率e=，F1、F2为左右焦点，超过F1的直线和双曲线的左分支与a、b两点相交，如果是等差项，则为(5)已知双曲线的离心率是2，F1，F2是左右焦点，p是双曲线上的点.并且求出该双曲线的标准方程式9 .抛物线中与焦点弦相关的几何图形的性质： (1)以越过焦点的弦为直径的圆和基准线相接(2)设ab为焦点弦，m为基准线和x轴的交点，AMF=； (3)设ab为焦点弦，a、b向瞄准线的投影分别为a、b、p为ab的中点，则PAPB； (4)ao的延长线与c相交时，BC与x轴平行，相反，超过b点与x轴平行的直线与c点相交时，a、o、c三点成为共线。10、弦长的公式：直线和圆锥曲线在两点a、b相交，分别在a、b的横轴时=，分别在a、b的纵轴时=，如果有弦AB的直线方程式设定为=。 特别地，焦点弦(超越焦点的弦):焦点弦的弦长的计算通常是将焦点弦变换为两个焦点半径的和，然后在第二种定义中求解，而不是弦长的公式。(1)通过抛物线y2=4x焦点的直线与A(x1，y1 )、B(x2，y2 )两点相交，但如果x1 x2=6，则|AB|就(2)通过抛物线焦点的直线在a、b两点与抛物线相交，|AB|=10，o是坐标原点，已知的话，ABC重心的横轴是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题，经常用“韦达定理”和“点差法”解。 椭圆中，中点弦所在的直线的斜率k=-； 在双曲线中，中点的弦所在的直线的斜率k=； 在抛物线中，中点弦所在的直线的斜率k=如(1)那样椭圆弦在点a (4，2 )被二等分时，该弦所在的直线方程式(2)已知直线y=-x 1和椭圆相交于a、b两点，线段AB的中点在直线L:x-2y=0上的情况下，该椭圆的离心率为(3)试着决定m的值的范围，使得椭圆上不同的两点关于直线对称特别注意：因为直线和圆锥曲线是两点相交的必要条件，所以在解决弦的长度、对称性问题时，一定不要忘记检查12 .你知道以下结论吗？(1)双曲线的渐近线方程式(2)以渐近线(即双曲线和共渐近线)的双曲线方程式为参数，0 )。与双曲线具有共同的渐近线，越过交点的双曲线方程式是(3)中心位于原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程式可以设为(4)椭圆、双曲线的通径(越过焦点与对称轴垂直的弦)是焦点距离(从焦点到瞄准线的距离)，抛物线的通径是焦点距离(5)传球是所有焦点弦(越过焦点的弦)中最短的弦(6)如果抛物线的焦点弦是AB的话 二(7)如果OA、OB是通过抛物线顶点o的两根垂直的弦，则直线AB通过定点13 .动点轨迹方程式：(1)求轨迹方程式的步骤：构筑系、设置点、行列式、简化、确定点的范围(2)求轨迹方程式的一般方法：直接法：直接利用条件建立关系例如，在已知从运动点p到定点f (1，0 )和直线的距离之和等于4的情况下，求出p的轨迹方程式.未定系数法：知道求出的曲线的类型，求出曲线方程式根据条件设定求出的曲线方程式，根据条件决定未定系数。假设线段AB为x轴正半轴上的点M(m，0 )，从端点a、b到x轴的距离之积为2m，x轴为对称轴，a、o、b三点为抛物线，则该抛物线方程式定义法：根据条件，出动点的轨迹是某一已知的曲线，从曲线的定义直接写出出动点的轨迹方程式(1)从动点p向圆形成两条切线PA、PB，接点分别为a、b、873.apb=600时，动点p的轨迹方程式为(2)点m和点f (4，0 )间的距离小于到直线的距离1时，点m的轨迹方程式为(3)一动圆和两圆M :和n :外接时，移动圆心的轨迹是代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，另外在一条已知曲线上，可以用先用的代数式表示，代入已知曲线求出的轨迹方程式如果动点p是抛物线的任意点，点除以点m的比是2，则m的轨迹方程式是参数法：动点坐标间的关