函数的单调性复习.ppt

2.3函数的单调性,基础知识自主学习,要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义,f（x1）f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，_叫做f（x）的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f（x）M,f（x0）=M,f（x）M,f（x0）=M,基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.,B,2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析f（x）在R上是增函数，对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意xR都有f(x)0,则f(x)=0无根.,C,3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.（-,-1)(1,+)解析由已知条件：不等式等价于解得-1x0.即f(x1)-f(x2)0，所以f(x1)f(x2).,故在（-1，+）上为减函数.（2）函数f(x)=-x2+2x+1在1,+）上为减函数，证明如下：任取x1、x2R，且x2x11,则f(x1)-f(x2)=(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).x2x11,x2-x10,x2+x12,x2+x1-20,f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)0,即有f(x1)f(x2).,故函数f(x)=-x2+2x+1在1,+）上是减函数.（3）函数f(x)=在-1，+）上为增函数，证明如下：任取x1、x2-1,+）且-1x1x2，则有x1-x20，,f(x1)-f(x2)0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.,题型二复合函数的单调性【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）先求得函数的定义域，然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.解析由x2-2x-30，得x3,结合二次函数的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数，由此可得D项符合.,思维启迪,D,（1）复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则fg(x)必为增函数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数.（2）讨论复合函数单调性的步骤是：求出复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性；把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.,探究提高,知能迁移2函数y=的递减区间为（）A.(1,+)B.C.D.解析作出t=2x2-3x+1的示意图如图所示，00,f（x1）-f（x2）=f（x1）+f(-x2)=f(x1-x2).又x0时,f(x)0,f(x1-x2)0时,f(x)0,f(x1-x2)0,则又当x1时，f(x)0，而即f(x1)-f(x2)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数.,解题示范,2分,5分,6分,（2）解f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22,解得-1m,故解集为f(x)在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)f(x2)f(x1)-f(x2)0,若函数是增函数,则f(x1)x2,则由于当x1时，f(x)9,x9或x9或x-9.,1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后变形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符号；（4）根据定义作出结论.,方法与技巧,思想方法感悟提高,2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b),g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数.简称为:同增异减.,1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.2.两函数f(x)、g(x)在x(a,b)上都是增(减)函数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.,失误与防范,一、选择题1.若函数y=ax与在(0,+)上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+）上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与在(0,+)上都是减函数，af(a)，则实数a的取值范围是（）A.（-,-1）(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)解析由f(x)的图象可知f(x)在(-,+)上是单调递增函数,由f(2-a2)f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1,函数f(x)的单调减区间为,D,二、填空题7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)f(1-2m)，则m的取值范围是.解析依题意，原不等式等价于,8.已知定义域为D的函数f(x)，对任意xD，存在正数K，都有|f(x)|K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”.已知下列函数:f(x)=2sinx;f(x)=f(x)=1-2x;其中是“有界函数”的是_.（写出所有满足要求的函数的序号）,解析中|f（x）|=|2sinx|2,中|f（x）|1;中当x=0时，f(x)=0，总之，|f(x)|中f(x)0且f(x