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2.3.2双曲线的几何性质,一、温故知新,1.焦点在x轴上的双曲线方程为:,焦点在y轴上的双曲线方程为:,二、互动探究,问题1.已知双曲线的标准方程为，你能发现它的性质吗？,2.双曲线具有哪些性质？我们应怎样研究它的性质？,类比椭圆,在双曲线的标准方程中，把X换成X方程不变，这说明当点在双曲线上时，点P关于Y轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于Y轴对称。,同理：双曲线还关于X轴、坐标原点对称。,结论：1.双曲线是有对称性。2.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。,该结论具有一般性吗？,对称性：,从方程角度看：,在双曲线的标准方程中，令得，这说明是双曲线与X轴的两个交点。我们把这两个点称为双曲线的顶点。,令得，这个方程没有实数根，说明双曲线与Y轴没有交点，但为了方便画图，我们把也画在Y轴上。,从方程角度看：,顶点：,若实轴长和虚轴长相等,即2a=2b,则该双曲线称为等轴双曲线。,线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长。,从方程角度看：,这说明双曲线是有范围的。,对一般的双曲线你有怎样的结论？,结论：双曲线位于不等式所表示的平面区域内。,范围简记：,范围：,通过方程，你还能发现怎样的不等关系？,所以，双曲线是在以和为边界的平面区域内。,对一般的双曲线你有怎样的结论？,结论：双曲线是在以和为边界的平面区域内。,从x,y的变化趋势来看，双曲线与直线具有怎样的关系？,根据对称性，可先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。,通过观察可以发现，随着M点横坐标X的逐渐增大，线段MP的长度逐渐减小，因此，M到直线的距离逐渐减小，且逐渐趋向于0.,这说明，随着X的增大，双曲线在第一象限内的点与直线逐渐接近。根据双曲线的对称性，双曲线的各支向外延伸时，与直线和逐渐接近，但始终不会相交。,我们把两条直线叫做双曲线的渐近线。,等轴双曲线的两条渐近线方程为，它们相互垂直。,设点是双曲线在第一象限内图形上任一点，点P是直线上与M有相同横坐标的点，则,设点M到直线的距离设为d,则,证明：,离心率：,椭圆的离心率反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，对双曲线的形状是否有影响呢？,从图上看：双曲线夹在两条渐近线之间，这说明了的大小决定了双曲线开口的大小。越大，双曲线的开口越大，越小，双曲线的开口越小。,从角度看：,显然e1.e越大开口越大；e越小开口越小。,定义：焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记为e。,越大，双曲线的开口越大，越小，双曲线的开口越小。,从角度
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