幂级数解方程(偏微分方程)ppt课件

.幂级数解-特征值问题，第11章，王建东，沙河校园计算机大楼东206jdwang，11.1二阶常微分方程的幂级数解，11.1.1幂级数解理论概述，1 .球面坐标系的拉普拉斯方程的分离变量，1，分离变量法解偏微分方程的方法：可以直接解，可以直接用变量解第三个方程，对于L阶团legend方程，不能直接解，如果讨论问题有旋转轴对称(m=0)，l阶Legendre方程不能直接解，2 .柱坐标系的拉普拉斯方程的分离变量，可以直接求解，也可以直接求解第三方程。(1) 0的变换，m Bessel方程的不能直接解，=0的不能直接解，(2) 0的情况下为0，作为变换，虚拟纵量的贝塞尔方程不能直接求解，使用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离时，将出现特殊的函数方程，例如Legendre方程、Legendre方程、Bessel方程和球贝塞尔方程。将不同的数学物理偏微分方程分离到不同的坐标系中，也出现了各种特殊的函数方程，它们大部分是二阶线性常微分方程。这提出了具有初始条件的线性二阶常微分方程的解问题。讨论了复合函数(z)的线性二次常微分方程，而不丢失正则性。(11.1.1)，其中z是复合变量，p(z)和q(z)是复合函数(称为方程的系数)，(z)是不可获取的函数，z0是选定的点，C0和C1是复合常量。这些线性二阶常微分方程往往不是用一般的解法求解的，但可以用幂级数解法求解。幂级数解是求解二阶常微分方程的具体过程，选择(1)任意点z0，将该邻域要求的解表作为系数待定幂级数；(2)将该幂级数形式代入方程和固定条件，求出所有未定幂级数系数。(2)系列，因此存在收敛和收敛范围问题。说明：级数解是更一般的方法，对方程没有特殊要求；(3)系列解决方案的计算更加累赘，需要耐心和慎重。2，方程式的常数点和奇点概念，定义11.1.1方程式(11.1.1)的系数p(z)和q(z)，如果在点z0及其邻近范围内解析，则点z0称为方程式(11.1.1)的常数点。将点z0定义为方程式(11 . 1 . 1 . 1)的奇点，除非11.1.2系数p(z)和q(z)之一由点z0解释。如果在点z0上同时确定了11.1.3 (z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)，则点z0是方程(11.1.1)的正则奇点，否则称为方程的非正则点。定理11.1.1 . 1方程(11 . 1 . 1)的系数p(z)和q(z)在点z0的邻域|z-z0|1小时级数收敛，1小时级数发散。对于足够大的k，pl(x)和ql(x)为正序列。pl(x):=1，系列pl(x)发散，具体取决于高斯判别法。对于sql(x):=1，序列ql(x)发散，具体取决于gauss判别方法。如果级数解pl(x)和ql(x)是有限项，即多项式变质，在x=1中取有限值，则发散问题完全不存在。检查pl(x):如果l为偶数，l=2n(n为正整数)，则pl(x)的系数从x2n项目到x2n项目(向上颜色项目)的系数均为0(2n-l)。然后，pl(x)不再是无限系列，而只包含偶数平方作为2n阶多项式。pl(x)保持无穷大，因为其系数不包含(2n-l)，x=1分支。如果检查ql(x)、l为奇数，则仅包括以下项目：l=2n 1(n为非负整数)、ql(x)，其中从3个x2n开始，系数(2n 1-l)全部为0的x2n 1。这些ql(x)是2n一阶多项式，仅包含奇数幂。此时pl(x)没有系数，因此(2n 1-l)保持为无限系列，并且在x=1时分支。事实上，研究系列解决方案的系数递归公式是l=n(正负均可)、k=n(n为正数)或k=-n-1(n为负数)等整数的系列解决方案的偶数或奇数系数均为0: ak2=0，ak4.系列的偶数或奇数部分成为多项式。通常，l是非负整数，在一般解决方案y(x)中，选择常数a0=0(a10)或a1=0(a00)，将y(x)作为l次Legendre多项式，Pl(x)，l阶多项式Pl(x)的系数很麻烦。为了采取简单的形式，使x=1的值保持为1(规格化)，最高压差的系数为：Legendre多项式Pl(x)的系数递归关系为：这样我们就可以从最高阶系数al中依次得到其他低阶系数：.按顺序，使用数学推导，可以：其中：因此得到的Legendre方程的多项式解为：l阶Legendre多项式Pl(x)也称为第一类Legendre函数。最高Legendre多项式：l为非负整数时，Legendre方程式的一般解决方案之一是Legendre函数，另一种线性独立解决方案是无限系列，第二种类型的Legendre函数(x)是(朗斯基决定因素衍生，无要求):因为Ql(x)和Pl(x)的递归公式相同，所以legend方程的一般解释为，摘要：(1) l不是整数时，(2) l是整数时，Legendre方程的一般解将Pl(x)称为第一个Legendre函数类，将Ql(x)称为第二个Legendre函数类。如果，(3) l为整数，则必须选择C2=0，因为边界必须在自然边界条件(| cos | 1)中求解。4，一般奇点附近的幂级数解(贝塞尔方程的解)，复杂函数(z)的线性二次常微分方程：如果选择的z0是该方程的奇点，则通常解也将z0作为奇点，并包含负幂，而不是z0邻域的扩展食管泰勒级数。也就是说，展开式是洛朗系列，有以下整理：如果定理11.1.3 z0是方程(11.1.1)的正则奇点，则存在线性独立(独立)的两个解，即在此奇点的中心附近，以及常数系数S1，S2，AK，bk，a作为方程并集(z-z0)的相等幂项，(1)bezier方程的解对于上述次贝塞尔方程来说，x=0是方程的正则奇点，根据上述定理，方程的特殊解可以展开为以下形式的级数：这时用差贝塞尔方程代替3式就行了。x的相等幂的并集：要对任意x成立这个方程，x的每个幂前面的系数为0，即。必须设置为a00。1式可解析：2式，可解析：3式，主要可解析系数递归公式：因为a1=0，可以从这个递归公式中知道，c=(0)，偶数幂系数：所以我们得到bezier方程的特殊解之一。通常我们把y1(x)记为J(x)，阶贝塞尔函数，取C=-和，就能得到方程的另一个特殊解，这叫J-(x)，这叫-阶贝塞尔函数，即，常数、J(x)和J-(x)线性是独立的，因此bezier方程的一般解是， =n(整数)， (-n m 1)函数的定义要求(-n m 1)0，mn-1，k=m-n，可能，正n阶和负n阶bezier函数与线性相关，因此它们的线性组合不能构成bezier方程的一般解，并且通常需要根据Jn(x)进行其他线性无关的解释。(2)贝塞尔方程解的收敛和发散，贝塞尔函数J(x)的收敛半径为：也就是说，级数解J(x)的收敛范围为0| x |。对于bezier函数J-(x)，收敛半径为：但此级数解J(x)具有负幂，因此收敛范围为0|x|。(3)bezier函数的示例，第二种最低阶类型的Bessel函数J0(x)和J1(x)在实际应用程序中经常发现。例如，远光通过凸透镜在交点处的光场分布是一阶贝塞尔函数。，bezier函数可以在数学表格或数学手册中找到。11.1.2 schtum Liu ville具有唯一值，使用分离变量方法求解偏微分方程时，会遇到各种常微分方程，其中包含边界条件约束下的参数，为这些未知参数获取特定值的特定值称为特征值，非零解称为固有函数。寻找特征值和特征值函数的问题称为特征值问题。一些偏微分方程的最终解往往取决于特征值问题的解。因此，在数学上讨论特征值问题很重要。除了以前分离数学方程的变量后得到的参数外，常微分方程的一般形式如下：一，sutu m uville的固有值问题，转换，原始方程更改为，所以像上述一般形式的参数这样的二阶常微分方程都被称为sutu m ubill方程，简称S-L方程。Schtum Liu ville方程式透过附加奇怪的第一品类、第二品类、第三品类或自然边界条件来建构schtum Liu ville唯一值问题。示例1:或；自然边界条件：边界、S-L表达式：边界、边界，这两个表达式是Legendre表达式的特征值问题。范例2:或，自然边界条件：边界，S-L方程式的替代：边界，边界，这两个方程是Legendre方程的特征值问题。范例3:自然边界条件：边界，替代S-L方程式：边界，此方程式是贝塞尔方程式的特征值问题。注意：方程式的x从柱或极座标系统到极座标，示例4:C1，C2可以替换为常量，S-L表达式：分离一维自由字符串振动问题变量后，结果表达式、特征值和唯一函数分别替换为，范例5:替代S-L方程式：这是埃尔米特方程式，这是发生的可能性不大，是特征值问题。(这个问题来自量子力学的谐振子问题)，示例6:S-L方程的替换：这是拉格尔方程的特征值问题。(这个问题来自量子力学的氢原子问题)，注：在上述每个例子中，k(x)、q(x)和(x)在开口(a，b)中是诚实的。(2)bezier方程的k(x)=x，k(0)=0，端点x=0存在自然边界条件。如上例所示，端点a和b是k(x)的主零，端点具有自然边界条件。例如，(1) Legendre方程式的k(x)=1-x2，k(1)=1-(1)，(3)ragu El方程式的k(x)=xe-x，k(0)在端点x=0处具有自然边界条件。ii，schtum Liu ville中特征值问题的公共特性，如果(1) k(x)、k(x)、q(x)连续或使用最大x=a和x=b作为单极，则S-。其函数值(2)为实数和非负实数，即证明：特征值n和特征值函数yn(x)乘以每个项，从a到b逐项积分，端点x=a为第一奇数条件yn(a)=0，第二奇数条件yn(a)，如果端点x=a是第三类奇数条件(yn-hyn) x=a=0，则同样，无论所有边界条件为何，都有，因此n= * n，(3) m和 n对应的本征函数ym和yn在范围a，b中的加权(x)正交，即证明：本征函数ym和yn(x)满足，Yn(x)第一-ym (x)，按项目在区间上积分a，b即可。如果端点x=b是第一个奇数条件y(b)=0，第二个奇数条件y (b)=0，或自然边界条件k(b)=0，则端点x=b是第三个奇数条件(y hy) x=b=0，同样，无论所有边界条件为何，都可以(，(4)唯一函数族y1 (x)、y2 (x)、y3 (x)、完整。也就是说，如果函数f(x)有连续一阶导数和分段连续二阶导数，并且满足此函数族满足的边界条件，那么绝对和一致收敛级数：证明超出范围，有点。iii，广义傅立叶级数，绝对均匀收敛级数，广义傅立叶级数，系数fn (n=1，2，)是名为f(x)的广义傅立叶系数，函数族yn(x)是此系列扩展的基础。ym(x)(x)乘以上述级数展开和逐项积分即可。注意：由于此函数权重的正交性质，自下而上右端除n=m项外都为零，因此自下而上积分的平方根Nm项称为函数ym(x)的模块。因此，f(x)的广义傅立叶系数FM为：固有函数的模块nm=1 (m=1，2，)称为规范化的唯一函数。对于正交规格化本征函数族，上述广义傅里叶系数计算公式如下：对于非规格化的固有函数yn(x)，请改为使用yn(x)/Nn来执行固有函数规格化。为了方便，我们总是把函数的正交关系写为：其中称为cronik 函数，对于正交规格化函数族，自下而上简化为。注意：应用广义傅里叶系数计算公式之前，必须确定特征函数族是否正交(具有权重)，并计算特征函数族的强度。4和复数的固有函数族，上述讨论假定固有函数是实际变量的实际函数。但是，唯一函数也可以是实数变量复合函数，其中特征值方程、自然周期条件和唯一函数族通常是实数函数族。这些实数函数族也可以完全替换为以下复合函数族：对于复数函数族，模具定义通常修改为以确保实数类型。其中ym(x)*表示ym(x)的复数共轭，正交关系也相应地。两种集成，即广义傅立叶系数，注意：在实际应用中，通常不知道函数族是复数还是实数，因此该过程经常被复数处理，如果虚拟部分为零，则真实地处理。5，Hilbert空间，为了理解，我们把无限维的Hilbert空间中的向量比作。广义傅里叶级数，希尔伯特空间，函数f(x)，固有函数yn(x)，轴矢量i1，I2，i3，“矢量，”基本向量 in不一定是单位向