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第第 4 章章 多元微积分多元微积分 4.1 实验目的实验目的 理解多元函数、偏导数和全微分概念。熟悉用 Mathematia 数学软件画曲面图 形、求偏导数、全微分和计算二重积分。 4.2 实验准备实验准备 4.2.1 数学概念 1多元函数 2偏导数 3全微分 4二重积分 4.2.2 数学软件命令 1.Dfx,y,z,x 功能：求多元函数 f(x,y,z,) 对 x 的偏导数 2.Dfx,y,z, x, n 功能: 求多元函数 f(x,y,z,) 对 x 的 n 阶偏导数 3.Dfx1,x2, x1, x2, 功能:求多元函数 f(x1,x2,)的混合偏导数 1n f xx ? 4.Dtfx,y,z, 功能:求多元函数 f(x,y,z,)的全微分 5.Integratefx,y, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax 功能:计算重积分 maxmax minmin ( , ) xy xy dxf x y dy ,xmin,xmax ,ymin,ymax表示积分限。 6. Plot3D fx, y , x, xmin , xmax, y, ymin , ymax 功能： 画出函数f(x, y) 的自变量(x, y)满足minmaxxxx，minmaxyyy 的部分的曲面图形，其选择项参数值取默认值。 更多免费学习资料，请关注微博：学神资料站 更多学习资料，请关注淘宝店铺：学神资料站 h t t p s : / / s h o p 1 5 6 0 5 0 5 4 3 . t a o b a o . c o m/ 7. Plot3D fx, y , x, xmin , xmax, y,ymin , ymax, option1-value1， 功能： 画出函数f(x, y) 的自变量(x, y)满足minmaxxxx，minmaxyyy 的部分的曲面图形。 8. ParametricPlot3Dxu, v, yu, v, zu, v,u, umin, umax, v, vmin, vmax, option1-value1， 功能：画出参数曲面方程为 x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), uumin,umax, vvmin,vmax 部分的参数曲面图形，如果不选选择项参数, 则对应的选择项值取默认值。 9.ListPlotx1, y1, x2, y2, , xn, yn , PlotStyle-PointSizer 功能：在直角坐标系中画出点集x1, y1,x2, y2, ,xn, yn的散点图， PlotStyle-PointSizer增大散点图的点, r表示点的半径, 一般取PointSizer 功能：在直角坐标系中画出点集1,y1,2,y2,n, yn的散点图， PlotStyle-PointSizer增大散点图的点, r表示点的半径, 一般取截得的部分。 4.3.3 应用实验应用实验 本实验研究求经验公式问题。 8. 一种合金在某种添加剂的不同浓度之下作实验，得数据如下： 浓 度 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 抗压强度 25.2 29.8 31.2 31.7 29.4 试利用如上数据求出一个描该述合金的抗压强度与添加剂浓度之间关系的经验 公式并预测当添加剂的浓度为35时，抗压强度为多少？ 4.4 实验过程实验过程 1. In1:= Plot3DSinx+Siny,x,-3,3,y,-3,3 输出图形为 Out1= -SurfaceGraphics- 2. In2:= ParametricPlot3D Coshu*Cosv,Coshu*Sinv,u , u,-2,2,v,0,2Pi 输出图形为 Out2= -Graphics3D- 3. 1) In1:= Da*Sinx*y, y Out1= Cosaxxy 2) In2:= DExpx+y+z2,z Out2= 2 2 x y z ez + + 3) In3:= Dx3*y2+Sinx*y, x, y Out3= 2 6CosSinx yxyxyxy+ 4) In4:= Dx3+Sinx2+y,x,3 Out4= 322 68Cos12 Sinxxyxxy+ 4. 1) In1:= Dtx2+y2 Out1=2 Dt 2 Dt xxyy+ 2) In2:= Dta*x*Sinx+y Out2= Cos(Dt Dt )Dt SinDt Sinaxxyxyxaxyaxxy+ 3) In3:= DtLogfx+b Out3= () () Dt Dt 22 22 bxxyzxyzx bxyzxyzx + + 4) In4:= Dtf(x*y*z)2 Out4= ( )() 222222222 2Dt 2Dt 2Dt 22xy zxx yzyx y zzxyzxyzx y z + 5. 1) In1:= IntegrateSinx+y,x,0,1,y,0,2 Out1= Sin1 + Sin2 - Sin3 2) In2:= Integratex2+y,x,0,1,y,x2,Sqrtx Out2= 33 140 3) 对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令形式3。本题的二 重积分化为累次积分为() 4 2 21 x dxxy dy ，Mathematica命令为 In3:=Integratex*y,x,2,4,y,1,x/2 Out3= 9 2 6. 1）分析： 对由方程(), ,0F x y z =确定的隐函数(),zz x y=的偏导数, zz xy 有如下确定计算 公式： ,. y x zz F Fzy xFxF = = 因此可以借助偏导数命令完成对隐函数求偏导的计算。 2) 实验步骤 In1:= Clearx,y,z In2:= f=x+2y+z-2Sqrtx*y*z； In3:= fx=Df,x;fy=Df,y;fz=Df,z; In4:= zx=-fx/fz Out4= 1 1 yz xyz xy xyz + In5:= zy=-fy/fz Out5:= 2 1 xz xyz xy xyz + 因此所求偏导数为 1 1 yz xyz xy xyz + ， 2 1 xz xyz xy xyz + 。 7. 1）分析： 计算第一类面积分问题是将其转化为二重积分计算。由高等数学知识，本题可以 采用如下计算公式： ()()()()() 22 , , ,1, xy f x y z dSf x y z x yzx yzx y dxdy =+ 其投影区域为() 22 :20 xy Dxyax a+。由于该投影区域为圆形区域，因此可以 采用极坐标计算对应的二重积分。直角坐标与极坐标的转换关系为： cosxr=,sinyr=，而对应的二重积分微元为dxdyrdrd=。于是有 ()()()()() ()()() 22 2 cos 22 2 0 2 , , ,1, cos , sin ,cos , sin1cos , sincos , sin xy a xy f x y z dSf x y z x yzx yzx y dxdy dfrrz rrzrrzrrrdr =+ =+ 这样，可以借助求重积分的命令完成本题的计算。 2）实验过程 In1:= Clearx, y, z,a,t,r In2:= z=Sqrtx2+y2; In3:= ds=SimplifySqrt1+Dz,x2+Dz,y2; In4:= x=r*Cost;y=r*Sint; In5:= f = Simplify(x*y + y*z + z*x)*ds*r; In6:= SimplifyIntegratef,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2a*Cost; Out6:= 3 64 2 Abs 15 aa 8. 1) 问题分析 ()()()()()()() 44 2 2 2 012012 00 , kkkkk kk S a a af xxf xaa xa x = =+ 用绘散点图的命令画出所给数据的散点图，发现散点图具有抛物线图形，因此令 所求的经验公式 2 012 ( )y xaa xa x=+。 为确定系数a0, a1, a2 ， 利用最小二乘原理， 即选择经验公式在所给数据点处的误差平方最小的方法来确定系数a0, a1, a2。考 虑平方和。于是求解归结为3元函数S(a0, a1, a2)的极值问题,由多元函数极值的 必要条件，有 () 42 00 20,0,1,2. ij kikk ki j S f xa xxj a = = () () () 444 2 012 000 4444 23 012 0000 4444 2342 012 0000 5 kkk kkk kkkkk kkkk kkkkk kkkk aaxaxf x axaxaxx f x axaxaxx f x = = = += += += 整理后，得如下关于a0, a1, a2的线性方程组 令 4444 234 1234 0000 , kkkk kkkk sxsxsxsx = = ()()()() 4444 234 1234 0000 ,. kkkk kkkk ff xff xff xff x = = 线性方程组变为 01 1221 1021322 2031423 5as as af s as as af s as as af += += += 如果求解这个线性方程组得到解为a0*,a1*,a 2*，则所求经验公式为 *(x)= a0*+ a1*x+ a2*x2 2）实验步骤 In1:= t=10,25.2,15,29.8,20,31.2,25,31.7,30,29.4; p=ListPlott,PlotStyle -PointSize0.05 输出图形为 Out1= -Graphics- In2:= s1=Sumti,1,i,1,5; s2=Sumti,12,i,1,5; s3=Sumti,13,i,1,5; s4=Sumti,14,i,1,5; f1=Sumti,2,i,1,5; f2=Sumti,1*ti,2,i,1,5; f3=Sumti,12*ti,2,i,1,5; In3:= Solve5a0+s1*a1+s2*a2=f1, a0*s1+s2*a1+s3*a2=f2, a0*s2+s3*a1+s4*a2=f3,a0,a1,a2 Out3= a0 - 10.64, a1 - 1.886, a2 - -0.042 In4:= p=Plot10.64+1.886x-0.042x2,x,10,30 输出图形为 Out4= -Graphics- In5:= Showp,q 输出图形为 Out5= -Graphics- In6:=10.64+1.886 x -0.042x2/.x-35.0 Out6:= 25.2 由计算结果可知，所求的经验公式为 y=10.64+1.886 x -0.042x2 且当添加剂的浓度为35时，抗压强度为25.2。对所求的经验公式从图形上看， 它的近似效果还是很好的。 注：命令中ti,1表示所给数据的xi值, ti,2 表示所给数据的yi值。 4.5 思考与提高思考与提高 1.如下命令在做什么？阅读后将其在计算机上运行检验你的思考结果。 1）Plot3DExp-0.5*(x2+y2)*Cosx2+y2, RGBColorSinx y2,Cosx+y2,Exp-x2, x,-Pi,Pi,y,-Pi,Pi, PlotPoints-30, PlotRange-1,1 2）TablePlot3DSin2x*Sin2 y*Cost,x,0,Pi,y,0,Pi, PlotRange-1,1, BoxRatios-1,1,1, t,0,Pi,Pi/12 2.怎样求函数 22 lnzxy=+ 在点（1，2）处沿着第一象限角平分线的方向导数？ 3.怎样求第一型线积分？ 4.怎样求第二型面积分？ 5.怎样计算三重积分？ 6.怎样画出函数sinzx=，其中0,2 x沿z轴旋转所得旋转面的图形。 4.6 练习内容练习内容 1. 画出下列函数的图形 1） ()()()() 2 ,sin,1,4 ,2,4 .f x yx yxy= 2）()() 22 1 ,10,10 ,10,10 1 uxy xy = + 3）()() 22 cos,3,3 ,3,3 249 xy zxy = + 4) 2 cos sin ,(0,2),(0,2 ). xuv yuvuv zu = = = 2求下列函数的偏导数 1） 2 x z y =，求 z x 和 z y 。 2） 3232 cossincos sinzxyyxyy=，求 z x 和 z y 。 3）(),uf xyz xyz=+求 u z ， 3u x y z 。 4）设 () 22 1 z f xy = , 求 23 23 ,. zzz xyx 3设( , )zf x y=由方程20 xyz eze +=所确定，求 2z x y 。 4设2ln0 xzxyxyz=确定函数( , )zf x y=，求z的全微分。 5计算 () 22 xy D edxdy + ，其中 22 :1D xy+。 6计算由平面1234zxy=，平面0z =，柱面 22 44xy+=所围成的立体体积。 7. 在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度与时间 有如下关系，求浓度与 时间的关系的