高中数学思想----转化与化归思想

变革与变革思想【思想方法诠释】转化与转化的思想方法是一种数学方法，通过转化来转化问题，然后在研究和解决相关数学问题时解决问题。一般来说，复杂的问题通过转化转化为简单的问题，困难的问题通过转化转化为容易解决的问题。通过转化将未解决的问题转化为已解决的问题。变换和变换是实现函数和不等式、函数和方程、数和形、形和数、角和边、空间和平面、实际问题和数学问题等两个相互关联的知识块相互变换的重要基础。消去法、代换法以及数形结合都体现了等价变换的思想。我们还经常在函数、方程和不等式之间进行等价变换。在复习过程中，要注意相似主要知识之间的相互转化，注意知识的综合。转化原则与思想转化(1)熟悉知道的原则：把不熟悉的问题变成熟悉的问题，把未知的问题变成已知的问题，这样我们就可以用熟悉的知识、经验和问题来解决它们。(2)简化原则：将复杂问题分为简单问题，通过解决简单问题达到解决复杂问题的目的，或获得解决问题的一些启示和依据。(3)和谐统一原则：转变问题的条件或结论，使其表现形式更符合以数字和图形表示的和谐统一的形式；或者变换命题，使其推论有利于某些数学方法的使用或符合人们的思维规律。(4)面对困难时反对的原则：当面对困难时，在积极讨论一个问题时，应该想到问题的消极面，并努力从问题的消极面去探索，以便问题能够得到解决。体验高考1.(类别B，2016)已知算术级数an的前9项之和是27，A10=8，然后a100等于()公元前100年至公元前99年至公元97年答案c从算术级数的性质来分析，我们知道S9=9A5=27给出A5=3和A10=8，所以容差D=1。 A100=A10 90D=98，所以选择c。2.(2016课程标准国家C)已知规则()A.b0)，然后a=ksina，b=ksinb，c=ksinb。替换为，有=，变形可用原罪乙=原罪乙+原罪乙=原罪(甲+乙)。在ABC中，从a b c=开始，sin (a b)=sin (-c)=sinc，因此sinasinb=sinc。(2)该解决方案从B2C2-A2=公元前已知。根据余弦定理，有Cosa=，所以新浪=。从(1)开始，sinasinb=sinacosb cosasinb，所以sinb=cosb sinb。所以tanb=4。高考必须满足的问题类型问题类型从积极到消极的转变例1已知集A=x r | x2-4mx 2m 6=0，B=x r | x0，如果A b 现实数m的取值范围解集U= m |=(-4m)2-4(2m 6)0 ，也就是说，u=m | m -1或m 。如果方程x2-4mx 2m 6=0的x1和x2都是非负的，然后因此，让ab实数m的取值范围为m | m -1。AB在这个题目中，所以A是方程X2-4Mx 2m 6=0的非空集实数解，方程的根有三个条件：(1)两个负根；(2)负根和零根；(3)一个负根和一个正根。单独解决这个问题相当麻烦。我们可以从问题的反面考虑，采取“积极困难是消极的”的策略。也就是说，首先用0来寻找完备集U，然后找到当两者都为非负时M的取值范围，最后用“互补集思想”来解决问题。这是“积极困难是消极的”的转化思想的应用，也称为“互补集思想”。变型训练1如果对于任何t1，2，函数g (x)=x3 x2-2x在区间(t，3)上不总是单调函数，那么实数m的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答解析G(x)=3 x2(M4)x-2。如果g(x)在区间(t，3)上总是单调函数，那么G(x)0在(t，3)上是常数，或者G(x)0在(t，3)上是常数。从 3x2 (m 4) x-2 0，也就是说，m 4 -3x在x(t，3)上是常数，所以如果m 4 -3t成立，m 4 -1，即m5；从(2)开始，m 4 -3x在x上是常数因此，m的取值范围是-ln (n 1) (n n *)，其中函数g(x)在区间(t，3)中不总是单调函数。(1)解g(x)=f(x)-(x1)=ln x-(x1)，g(x)=-1(x0).设g(x)0，得到01。函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)最大值=g(1)=2。(2)由(1)证明x=1是函数g(x)的最大点和最大点， g (x) g (1)=-2，即Lnx-(x 1) -2Lnx x-1(当且仅当x=1时，等号成立)，如果t=x-1，t ln (t 1) (t-1)。当取t=(n n *)时，Ln=ln，1ln 2，ln，ln，ln，1 ln (2 )=ln (n 1)的叠加。即1 ln (n 1)。解决方程和不等式问题的注释需要函数的帮助。解决函数问题需要借助方程和不等式。因此，借助于函数、方程和不等式的变换和归约可以简化问题，并且通常将不平等关系转化为最大值(范围)问题，从而获得参数的范围。变式训练2将a设置为实数，函数f (x)=ex-2x 2a，x r。(1)找到f(x)的单调区间和极值；(2)验证：当AlN 2-1和x0，exx2-2ax 1。(1)解由f (x)=ex-2x 2a，xR组成已知f (x)=ex-2，x r。如果f(x)=0，x=ln2。所以当x改变时，f(x)，f(x)的变化如下：x(-，ln 2)ln 2(ln 2，+)f(x)-0+f(x)单调递减2-2ln 2+2a单调递增因此，f(x)的单调递减区间是(-，ln 2)，单调递增区间为(ln 2，)，F(x)在x=ln2时取最小值，最小值为f (ln2)=eln2-2ln2 2a=2-2ln2 2a。(2)证明如果g (x)=ex-x2 2ax-1，xR，所以g (x)=ex-2x 2a，x r。从(1)可知，当AlN 2-1，g(x)的最小值是g(LN2)=2(1-ln2a)0。所以对于任何xR，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调增加。所以当AlN 2-1，对于任何x(0，)，都有g (x) g (0)。g (0)=0，所以对于任何x(0，)，都有g(x)0。Ex-x2 2ax-10，因此ex-x2-2ax 1。三个主次问题的转换例3已知函数f(x)=x3 3ax-1，g(x)=f(x)-ax-5，其中f(x)是f(x)的导数函数。对于满足-1 a 1的所有值，都有g(x)0，那么实数x的取值范围是_ _ _ _ _ _。回答从问题的含义，我们知道g (x)=3x2-ax 3a-5。设 (a)=(3-x) a 3x2-5，-1 a 1。对于-1 a 1，存在常数g(x)0，即(a)0。即当解为-1，即a2时，函数y=-(t-)2a-在t0，1上单调增加，当 t=1时，该函数的最大值ymax=a a-=1。解决方案A=2(省略)；当0 1，即0a2时，那么t=当函数具有最大值时，ymax=+a-=1，得到a=或a=-4(放弃)；当0，即a0时，函数y=-(t-) 2 a-在t0，1上，它单调递减，当 t=0时，该函数的最大值ymax=a-=1。解是a=0(省略)，总之，有一个实数a=，这使得函数在闭区间0上的最大值为1。关于代换的评论包括整体代换、特殊值代换、三角形代换等。本主题是关于三角函数最大值的存在性。通过改变变量和设置cos x=t，将其转化为关于t的二次函数问题，并将三角函数的最大值问题转化为二次函数y=-(t-) 2 a-，0t1，然后分类求解。变式训练4如果x的方程9x (4 a) 3x 4=0有解，则实数a的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答(-，-8)如果t=3x被解析地设置，那么原始命题等价于方程T2 (4 a) t 4=0在t上具有正解，并且变量a被分离以获得a 4=-，t0,-4， A -8，即实数a的取值范围是(-，-8)。试题简明扼要1.如果函数f (x)=x3-tx2 3x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围为()A.(-， B.(-，3C.，+)d3，+)答案c解析f (x)=3x2-2tx 3，由于f(x)在区间1，4上单调递减，那么f(x)0在1，4上是常数。即3x2-2tx 3 0，即t x在1，4上是常数。因为y=(x)在1，4上单调增加，所以t (4 )=，所以选择c。2.给定函数f (x)=| logx |，如果m1， m 3n=m在m(0，1)上单调递减，当m=1时，m 3n=4， m 3n4。3.通过抛物线Y=AX2 (A0)的焦点F，在P和Q处做一条直线相交抛物线。如果线段PF和FQ的长度分别为P和Q，则等于()A.2aB。C.4aD。答案c解析抛物线y=ax2 (A0)的标准方程是x2=y (A0)，焦点F(0)，穿过焦点f的直线垂直于y轴，然后| pf |=| qf |=，So=4a。4.给定函数f (x)=(e2x 1 1) (ax 3a-1)，如果x(0，)存在，使不等式f(x)1成立，则实数a的取值范围为()A.(0，)B.(0，)C.(-，)D.(-，)答案c分析因为x(0，)，2x 11，然后E2x 1 1e 1，为了使f(x)1，ax 3a-1，它可以被转换为：x(0，)存在以进行保持。设g (x)=，然后a0，然后x 33，因此，所以g(x)，也就是a，选举c。5.如果f (x)=，f(-2 015)f(-2 014)f(0)f(1)f(2 016)=_ _ _ _ _ _。回答2 016解析f(x)f(1-x)=1=+=1，f