实变函数与泛函分析基础4-1VIP

.,第一节可测函数及性质,第四章可测函数,.,1几个常用概念,1）定义1.“几乎处处成立”,.,2）定义2.,f(x)是可测集E上的广义实函数：,.,若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；,简单函数,3）定义3.,注1：,如：Dirichlet函数是简单函数,注2：,.,新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）,问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?,.,2可测函数定义,例1(1)零集上的任何函数都是可测函数。,【分】称外测度为0的集合为零测度集；零测度集的子集仍为零测度集。,定义3.设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数.,注：用与函数相关的集合表示函数f(x)的性质。（又如：p50,11题）,(2)可测集上的常值函数是可测函数。,.,(3)简单函数是可测函数,若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；,.,（4）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数,对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，,f(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续),设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续,.,可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数,证明：任取xEfa,则f(x)a,由连续性假设知，,.,（5）R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。,由f单调增知下面的集合为可测集,证明：不妨设f单调增，对任意aR,.,可测函数的等价描述,定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则f(x)在E上可测,证明：,.,.,.,例1.设f(x)为可测集E上的函数，D是R中一个稠密集，若对任意的rD，点集x：f(x)r都可测，则任意的aR，点集x：f(x)a都可测。,.,可测函数的性质,(1)可测函数关于子集、并集的性质,反之，若,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。,即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；,【分】,【分】,.,例2.在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性,证明：令E1=Efg，E2=Ef=g，则mE1=0从而g(x)在E1上可测，,即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测.,注：用到了可测函数关于子集、并集的性质,另外f(x)在E2上可测，从而g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1E2上也可测。,.,可测函数类关于四则运算封闭,即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。,类似于证明：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。,.,证明中利用了Q是可数集。,.,再证，若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。,注：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数参见教材p81-82.,再利用f(x)g(x)=(f(x)+g(x)2-(f(x)-g(x)2/4即可,其次，f2(x)在E上可测，因为对任意aR,证明：首先，对任意非0数c，cf(x)为可测函数。,.,可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。,若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。,.,推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。,.,例3：R1上的可微函数f(x)的导函数f(x)是可测函数,利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.,从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.,证明：由于,.,例4设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.,证明：发散点全体为收敛点全体为,再,.,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到,可测函数与简单函数的关系,若f(x)在E上非负可测,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到,定理2（非负可测函数与简单函数的关系）,思路：构造一个递增的简单函数列逼近f(x).即：如何用简单函数来“近似”表示出f(x)，使得“近似”的效果越来越好（定义域细分的方法）.,.,.,证明：令,.,下面讨论一般可测函数与非负可测函数的关系。,定义4：设f(x)是集合E上的广义实函数，,.,定理3（一般可测函数与简单函数的关系）,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到,证明：,.,.,推论：f(x)是可测函数当且仅当f(x)可以表示为一个简单函数列的极限。,.,例5：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x)是可测函数。,【分】：思路1：利用可测函数的定义直接证明。要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，Efga=x|f(g(x)a可测即可,x|f(g(x)a=(fg)-1(a,+)=g-1(f-1(a,+),f-1(a,+)=,f(x)是R上连续函数，由p49习题8知，开集的原像是开集：,思路2：利用可测函数的相关结论（等价条件、其运算规则等）间接证明。要证h(x)=f(g(x)是可测函数当且仅当h(x)可以表示为一个简单函数列的极限。,.,注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f(g(x)不一定是可测函数（参见：实变函数，周民强，p141例3),证法1：要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，(Efga)=x|f(g(x)a可测即可,由于f在R上连续，故f-1(a,+)为R中的开集，,再由g可测，可知,(Efga)=x|f(g(x)a=(fg)-1(a,+)=g-1(f-1(a,+)（*）,f-1(a,+)=,故