12预初数学培优 线段与角的初步认识教师

1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 1 1 / / 8 8 - - 第十三讲：第十三讲：线段与角的初步认识线段与角的初步认识 【知识点一【知识点一】 一一 、线段、线段 1. 线段的表示方法线段的表示方法 （1）用两个端点的两个大写英文字母表示，如：线段）用两个端点的两个大写英文字母表示，如：线段AB。 （2）用一个小写英文字母表示，如：线段）用一个小写英文字母表示，如：线段a。 2. 线段的大小比较方法线段的大小比较方法 （1）分别测量线段的长度，根据读数比较大小。）分别测量线段的长度，根据读数比较大小。 （2）把线段的一个端点重合，两条线段叠合，直接比较线段的长短。）把线段的一个端点重合，两条线段叠合，直接比较线段的长短。 3. 两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离。两点之间，线段最短。两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离。两点之间，线段最短。 4. 两条线段的和、差、倍两条线段的和、差、倍 （1）两条线段可以相加或相减两条线段可以相加或相减，结果还是，结果还是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和或差。一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和或差。 （2）一条线段的）一条线段的n倍，就是把倍，就是把n条这样的线段相加。条这样的线段相加。 5. 将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。 6. 取线段中点的方法有两种： （取线段中点的方法有两种： （1）用刻度尺量取中点；）用刻度尺量取中点； （2）用尺规作图求线段的中点。）用尺规作图求线段的中点。 【例题与应用】【例题与应用】 例例 1. 图中有几条线段？怎样用字母表示？图中有几条线段？怎样用字母表示？ 解：有解：有3条线段。分别是线段条线段。分别是线段AB、AC、BC。 练习练习 1. 找出图中所有的线段并把它们表示出来。找出图中所有的线段并把它们表示出来。 AB CD 解：有解：有6条线段。分别是条线段。分别是AC、AD、AB、CD、CB、DB. 拓展：拓展：有有n个点时，共有个点时，共有 2 1 1321 nn n条线段。条线段。 例例 2. 已知线段已知线段a、b，你有几种方法，你有几种方法比较线段比较线段a、b的长短？的长短？ b a 解：解：法一：法一：用直尺直接测量用直尺直接测量，得出数据比较：，得出数据比较：ba ； 法二：用圆规比较：法二：用圆规比较： （1）画射线）画射线OC; （2）在射线上截取）在射线上截取aOA ，bOB ； BA OC 因为点因为点B在线段在线段OA的延长线上，所以的延长线上，所以OBOA ，即，即ba 。 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 2 2 / / 8 8 - - 例例 3.（1）已知线段）已知线段a，请用直尺和圆规作出它的中点。，请用直尺和圆规作出它的中点。 a AB （2）已知线段）已知线段a、b，请用直尺和，请用直尺和圆规作出一条线段，使线段长分别等于圆规作出一条线段，使线段长分别等于 ba 2 ba 2。 b a 解：解： （1）分别以分别以A、B为圆心，大于为圆心，大于AB 2 1 为半径作弧，相交于两点，用直尺连接两点，其直线与为半径作弧，相交于两点，用直尺连接两点，其直线与AB 的交点的交点即即为所求为所求C点点； C AB （2 2）画射线画射线AM，在射线，在射线AM上，从上，从A点起顺次截取点起顺次截取aAB ，aBC ， 则则aAC2 ，再依次截取，再依次截取bCD 则线段则线段AD就就是所要画的线段是所要画的线段； DC B AM 画射线画射线OP,在射线上在射线上OP，从，从O点顺次截取点顺次截取aMNOM ,在线段在线段ON上上 bNQ ，则，则 线段线段OQ就是所要画的线段就是所要画的线段； QNM OP 练习练习 3. 已知线段已知线段a、b、c，用直尺和圆规画线段，用直尺和圆规画线段cba3 2 1 cba 解：作图解：作图方法同例方法同例 3；略。略。 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 3 3 / / 8 8 - - 【知识点二】【知识点二】 二二 、角、角 1. 角的概念角的概念 （1）角是具有公共端点的两条射线组成的图形。）角是具有公共端点的两条射线组成的图形。 （2）角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。）角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。 2. 角的表示方法角的表示方法 （1）用三个大写英文字母表示，顶点的字母写在中间，如）用三个大写英文字母表示，顶点的字母写在中间，如AOB 。 （2）以某字母为）以某字母为顶点的角只有一个时，可用顶点的大写英文字母表示，如：顶点的角只有一个时，可用顶点的大写英文字母表示，如：B 。 （3）用小写的希腊字母或数字表示，如：）用小写的希腊字母或数字表示，如： 、1 等。等。 3. 方位角的表示方位角的表示：北（南）偏东（西）北（南）偏东（西）x。 4. 角的和、差、倍角的和、差、倍、半、半 （1）两个角的和或差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和或差。）两个角的和或差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和或差。 （2）一个角的）一个角的n倍也是一个角，它的度数等于这个角的度数的倍也是一个角，它的度数等于这个角的度数的n倍。倍。 5. 角平分线角平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 6. 作角平分线的方法作角平分线的方法 （1）用量角器先测量，然后在角的内部画角的平分线。）用量角器先测量，然后在角的内部画角的平分线。 （2）用尺规作图，画角的平分线。）用尺规作图，画角的平分线。 例例 4. （1）在下左）在下左图，图，1 用大写字母表示是用大写字母表示是 ，2 用大写字母表示是用大写字母表示是 。 （2）在下右在下右图中有几个角？怎样表示？图中有几个角？怎样表示？ O B A C 解：解： （1）AOB ，BOC ； （2）有有3个角。个角。AOB 、AOC 、BOC 。 练习练习 4. 请表示出图中所有的角。请表示出图中所有的角。 K M L J I 解：图中有解：图中有6个角，它们分别是个角，它们分别是IJL 、IJM 、IJK 、LJM 、LJK 、MJK 拓展：一个点发出拓展：一个点发出n条射线时，共有条射线时，共有 2 1 1321 nn n个角。个角。 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 4 4 / / 8 8 - - 例例 5. 写出图中射线写出图中射线OA、OB、OC所表示的方向。所表示的方向。 45 30 南南 西西东东 北北 C A B 20 解：解：OA表示东南方向（南偏东表示东南方向（南偏东45） OB表示北偏东表示北偏东30 OC表示北偏西表示北偏西70 练习练习 5. 一一船航行到某处，测得灯塔在船的北偏东船航行到某处，测得灯塔在船的北偏东 60方向，则船在灯塔的方向，则船在灯塔的_方向方向. 解：解：如图所示，如图所示，船在灯塔的南偏西船在灯塔的南偏西 60。 灯塔灯塔 船船 南南 东东 北北 西西 东东 南南 西西 北北 60 60 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 5 5 / / 8 8 - - 例例 6. 如图，如图， （1）已知已知AOB ，求作，求作AOB 1。 （2）已知已知AOB ，求作：求作：AOB 的平分线的平分线OC。 （3）已知）已知AOB ，求作：，求作：AOB 22 A B O 解：解： （1） 在在OB边上取边上取任意任意一点一点C，以，以O为圆心，为圆心，OC长为半径画弧，交长为半径画弧，交OA于点于点D。 （如图（如图（1） 1） 作射线作射线O B ； 以以 O 为圆心，为圆心，OC长为半径画弧（接近圆）长为半径画弧（接近圆） ，交，交BO于点于点C； 以以 C 为圆心，为圆心，CD长为半径画弧，交之前的弧于点长为半径画弧，交之前的弧于点 A ，连接，连接AO； （如图（如图（1）2） A O BAO B ，标记为，标记为1 ，即，即AOB 1。 1 （2）（1）2 （1）1 C E A C D O B A BO A B O C D （2）作法一：在）作法一：在OA、OB上分别截取上分别截取OD、OE，使得，使得OEOD ； 分别以点分别以点D、E为圆心，以大于为圆心，以大于DE 2 1 的同一长度为半径作弧，两弧交于的同一长度为半径作弧，两弧交于 AO B 内的一点内的一点C； 作射线作射线OC。OC就是所求作的角的平分线。就是所求作的角的平分线。 （如图（如图（2） ） ） 作法二：作法二：用量角器作出角平分线。用量角器作出角平分线。 （3）在（）在（1）的基础上，再以）的基础上，再以AO为边作为边作AOBAOD ， BOD 即为所求即为所求2 ，方法同（，方法同（1） ；） ； 练习练习 6. 已知已知AOB ，用尺规作图，求作，用尺规作图，求作1 ，使，使AOB 1，并作出，并作出1 的平分线。的平分线。 A B O 解：作图方法同例解：作图方法同例 6； 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 6 6 / / 8 8 - - 【综合练习【综合练习】 1 如图，已知如图，已知ABC 中，边中，边AB的长的长大于大于边边AC的长，试用圆规、直尺在线段的长，试用圆规、直尺在线段AB上画出线段上画出线段AD， 使使ACAD 。 解：解：法一：法一：用圆规量取用圆规量取AC的长度，以的长度，以A为圆心以为圆心以AC长长 为半径画弧交为半径画弧交AB于点于点D则则ACAD 。 法二：用直尺量出法二：用直尺量出AC的的长，在长，在AB上截取上截取ACAD 。 2 从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？请你分析一请你分析一 下原因，下原因， 并提出一个草坪的整改方案。并提出一个草坪的整改方案。 解：两点之间，线段最短。建议在教学楼与图书馆之间建一条穿过草坪的小道解：两点之间，线段最短。建议在教学楼与图书馆之间建一条穿过草坪的小道。 3 如图，已知如图，已知 、 ，画一个角，画一个角AOB ，使，使AOB 。 解： （作图过程参考解： （作图过程参考例例 6，略）略） 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 7 7 / / 8 8 - - 【课后作业】【课后作业】 1. ABBCAC ，理由是，理由是 两点之间线段最短两点之间线段最短 。 2. 如图，图中一共有多少个角？怎样表示？如图，图中一共有多少个角？怎样表示？ 答：答：10个角。表示略。个角。表示略。 K M N L J I 【教师备用】【教师备用】 1. 如果在一个平面上画出如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分条直线，最多可以分 成几个部分？成几个部分？ 法一：我们可以在平面上画出法一：我们可以在平面上画出1条直线，条直线，2条直线，条直线，3条直线，条直线，尝试从得到的数据中寻找规律，如尝试从得到的数据中寻找规律，如 下表：下表： 直线条数直线条数 1 2 3 4 5 6 最多可分成的部最多可分成的部 分数分数 2 4 7 11 16 22 后一项与前一项后一项与前一项 的差的差 2 3 4 5 6 20条直线最多可将平面分成条直线最多可将平面分成211204322 个部分。个部分。 法二：如果已有法二：如果已有1 k条直线，再增加第条直线，再增加第k条直线，这条直线与前条直线，这条直线与前1 k条直线至多有条直线至多有1 k个交点，因个交点，因 而第而第k条直线至多被分成条直线至多被分成k段， 每一段将原有的部分分成两个部分， 所以至多增加段， 每一段将原有的部分分成两个部分， 所以至多增加k个部分。个部分。1条条 直 线 两 个 部 分 ， 之 后 第直 线 两 个 部 分 ， 之 后 第k条 就 增 加条 就 增 加k个 部 分 ，个 部 分 ， 20条 直 线 最 多 可 将 平 面 分 成条 直 线 最 多 可 将 平 面 分 成 211204322 个部分。个部分。 1615 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 总结：当有总结：当有n条直线时，最多可将平面分成条直线时，最多可将平面分成1 2 )1( 4322 nn n个部分。个部分。 1212 教育教育 20172017 春季春季班班 预初数学培优预初数学培优（1212） - - 8 8 / / 8 8 - - 2. 如果画如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？个圆，最多可以把平面分成几个部分？ 法一：在平面上画出法一：在平面上画出1个圆，个圆，2个圆，个圆，3个圆，个圆，尝试从得到的数据中寻找规律，如下表：尝试从得到的数据中寻找规律，如下表： 圆的个数圆的个数 1 2 3 4 最多将平最多将平 面分成面分成 2 4 8 14 差为差为 2 4 6 8个圆，将平面分成个圆，将平面分成5814121086422 个