概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

第四章2. 2某些产品的不良率为0.1，检验员每天检查4次。每次随机抽取10个产品进行检查，如果发现其中一个或多个次品，调整设备，并以X求E (X)为单位在一天内调整设备的次数。产品是否是次品是相互独立的。)，以获取详细信息解决方案：表示一次采样的10个产品的次品数是P=P(调节装置)=P(1)=1-P(1)=1-P(=0)P(=1)1-0.7361=0.2639。因此，x是每天设备调整次数x到b (4，0.2639)。p (x=0)=0.26390.73614=0.2936。P (x=1)=0.263010.73613=0.4210，p (x=2)=0.26920.73612=0.2264。P (x=3)=0.26930.7361=0.0541，p (x=4)=0.26390.73610=0.0049。因此E (X)=np=40.2639=1.05563.三有3个球，4个箱子，1，2，3，4个箱子，把球分别随机地放在4个箱子里。将X设置为至少包含一个球的长方体的最小编号(例如，X=3为1，2为空，3为一个或多个球)，E (X)。活动X=1=一个球是一个护甲，两个球不是一个护甲 两个球是一个护甲，另一个护甲 三个球都是一个护甲(右三个事件是两个互斥的)事件“X=2”=2”=“一球装入两个箱子，两球装入三或四个箱子，两球装入两个箱子，一球装入三或四个箱子，三球装入两个箱子”同样：高句丽5. 5如果设定了一段时间，则最大负载使用的电气设备的时间x(分钟)是连续随机变量。概率密度为寻找e(x)解决方案：6. 6随机变量x的分布如下X-202Pk0.40.30.3找到E (X)，E (3X2 5)解决方案：e (x)=(-2) 0.4 00.3 20.3=-0.2E (x2)=(-2) 20.4 020.3 220.3=2.8E (3X2 5)=3E (X2) E (5)=8.4 5=13.47. 7随机变量x的概率密度为数学期望值(1) y=2x (2) y=e-2x。解决方案：(1)(2)8. 8设置(x，y)的分布方法xy123-1010.20.10.10.100.100.30.1(1)找到E (X)，E (Y)。(2)设定Z=Y/X、E (Z)。(3)设定z=(x-y) 2，E (Z)。解决方案：(1) x，y的分布规律xy123-10.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=10.4 20.2 30.4=0.4 0.4 1.2=2。E (y)=(-1) 0.3 00.410.3=0。Z=Y/X-1-1/2-1/30三分之一二分之一1Pk0.20.100.40.10.10.1(2)e(z)=(-1)0.2(-0.5)0.1(-1/3)0 00.4 1/30.1 0 . 50 . 1 10.1=(-1/4)1/30 1/20 1/10=(-15/60)11/60=-1/15。Z (x-y) 20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2Pk0.10.20.30.40(3)e(z)=00.1 10.2 40.3 90.4 160=0.2 1.2 3.6=510. 10一家工厂生产的某一设备的寿命x(年)遵循指数分布，概率密度在工厂规定的设备一年内受损时可交换。工厂出售一台设备获利100元，更换一台设备需要300元。厂方想卖掉一台设备，大获全胜里奇的数学期望。解决方案：一年内损坏一台设备的概率因此，设置y表示设备销售的净收益邮报高句丽11. 11一个车间生产的圆盘直径遵循宗地(a，b)中的均匀分布。找出磁盘区域的数学期望。解决方案：如果将x设置为圆盘的直径，则概率密度为用y表示磁盘的面积12. 13设置随机变量X1，X2概率密度寻找(1)E (X1 X2)，E(2x1-3)；(2) X1和X2相互独立(x1x2)解决方案：(1)2=(2)2=(3)13. 14将n个球(1 n次)随机放在n个箱子(1 n次)中，一个箱子装一个球。将一个球放在与球号相同的框中，称为配对，记住X作为配对数，求出E(X)解决方案：引入随机变量I=1，2，n球框对的总数为Xi的分布如下诗：10P:I=1，2.nI=1，2.n14. 15都有n把一样的钥匙，其中只有一把能打开门的锁。设置提取关键点是相互独立的，可以。如果对每个键进行一次测试并将其删除，则使用以下两种方法得出测试次数x的数学期望值：(1)写x的分布法，(2)不写x的分布法。解决方案：(1)x123.np.试着弄一把钥匙，直到用完为止。设定I=1，2.n打开门所需的尝试次数如下：诗I0pe (Xi)=I=1，2.n15.(1)介绍了设置随机变量X的数学期望值为E (X)，方差为D (X)0，新的随机变量(X*称为标准化随机变量)。确认E (X* )=0，D (X* )=1(2)已知随机变量x的概率密度。求X*的概率密度。解决方案：(1)d(x *)=ex *-e(x)*2=e(x * 2)=2=(2)16.将 16 x设置为随机变量，将c设置为常量，以证明D (X )0是常量，并求出E (X)、D (X)。解决方案：又来了D (x)=e (x 2)-e 2 (x)=2 2- 2= 221.x1、x2、xn是相互独立的随机变量，I=1，2，n .记忆，(1)验证(2)验证(3)验证E (S 2)证明：(1)(利用数学期望的性质2，3)(使用超差的特性2，3)(2)首先作证所以(3)23.25随机变量x和y的联合分布如下：xy-101-1001验证：x和y不相关，但x和y彼此不独立。证明：px=1y=1=px=1=py=1=P x=1 y=1 880 x=1 p y=1x，y不是独立的E (X )=-1 0 1=0 1=0E (Y )=-1 0 1=0 1=0Cov (x，y)=e x-e(x)y-e(y)=e(xy)-exey=(-1)(-1)(-1)1(-1)11=0x，y不相关27.在三个随机变量X，Y，Z中，e (x)=e (y)=1，e (z)=-1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1将W=X Y Z设定为E (W)，D (W)。解决方案：e (w)=e (x y z)=e (x) e (y) e (z)=1-1=1D (w)=d (x y z)=e (x y z)-e (x y z) 2=e x-e (x) y-e (y) z-e (z) 2=e x-e(x)2y-e(y)2z-e(z)2x-e(x)y-e2y-e(y)z-e(z)2z-e(z)x-e(x)=d (x) d (y) d (z) 2 cov (x，y) 2 cov (y，z) 2 cov (z，x)=D (X) D (Y) D (Z) 2=1 1 2概率密度设定随机变量(X1，X2)。0x2，0y2寻找E (X1)、E (X2)、COV(X1、X2)。解决方案：D (X1 X2)=D (X1) D (X2) 2COV(X1，X2)2=28. 29设置x n (， 2)，y n (， 2)，x，y相互独立。寻找Z1=X Y和z2= x- y的相关系数(其中是非零常数)。解决方案：由于x，y相互独立Cov (Z1，z2)=e (Z1，z2)-e(Z1)e(z2)=e(xy)(x-y)-(exey)=2 ex 2-ey 2-2(ex)2(ey)2=2 dx-2 dy=(2-2)2dz1=2 dxx2 dy=(22)2，dz2=2 dxx2 dy=(22)2，(使用数学期望的性质23)高句丽29.23卡车装载水泥，将每袋重量设定为公斤，并询问N(50，2.52)装载水泥多少，使总重量超过2000的概率不大于0.05。解决方案：据悉，x n (50，2.52)可以将水泥安装到最大a袋，以确保总重量不大于0.05。期望和方差的性质为y=ax n (50a，2.52a)。因此，问题是P y 2000 0.05发现了A39。30. 32在正常男性的成人血液中，平均每毫升白细胞7300，平均分散700，使用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数5200至9400的概率p。解决方案：如果从问题中知道=7300，=700，则由Chebyshev不等式31. 33如果两个随机变量v的w rue (v2) e (w2)存在，则名为E(VW)2E(V2)E(W2)E(W2)的不等式为Cauchy-schwarware证明：E (V2)、E (W 2)存在时E (VW)、E (V)、E (W)、D (V)、D (W)，全部存在。您可以在E (V2)，E (W 2)至少为零时设定E (V2 )=0。d(V)=E(v2)-E(V)=2E(v2)=0(E(V)=0(E(V)=2=然后，根据漫射的性质，P (V=0)=1。P (VW=0)=1。因此E(VW )=0，不等式成立。如果E (V2 )0，E (W 2 )0示例e(w-TV)2=e(v2)T2-2e(VW)t e(w2)8805。(*) 0(*)表达式是t的二次三元表达式，不是恒音，因此有=-2e (VW)% 2-4e (v2) e (w2) 0所以柯西-施瓦兹不等式成立。21 (1)设定随机变数X1、X2、X3、X4彼此独立，e (Xi)=