拉格朗日中值定理的推广及其应用

嘉应大学本科毕业论文(设计)(2014年)主题：拉格朗日中值定理的推广及其应用名字：徐佳琳学位：学院：数学学院专业：数学和应用数学(师范)指导老师：温坤文申请学位：学士学位嘉应大学教务处.拉格朗日中值定理的推广及其应用摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，对理论和应用具有极其重要的意义。 本文对拉格朗日中值定理进行了一定的论述，将其推进后，通过解决几种问题，对拉格朗日值定理的应用进行了探讨和归纳，起到深入理解、把握和正确应用的作用关键词：拉格朗日中值定理、定理的推广和应用、极限、不等式、级数的收敛性Abstractlagrangemeanvaluetheoremisonofthebasictheoremofdiffirediffirealcalculusthiserationtomakethelagrangetheorecertain，apputttitttothepromotion， thestrionserverlationthesolutionoftheproblem以及， applicationwillmakeomedissditionsandsitiontheapplicationoflagrangemean.itsprupprosesstohavein-depthunderstandingothe rem，tkeywords:lagrangemeanvaluetherem，thegeneralizationandapplicationofthethethethethethethethethethethethethethethethethethetheorem，The limit1 .引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理是微分学的基本定理，所有这些定理都具有中值性，因此，总称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们的关系可以示意性地表示如下罗尔定理特例柯西定理泰勒公式拉格朗日中值定理普及罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理构成的中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理确立了函数值和导数值的定量关系，因此可以利用中值定理研究导数的性质，中值定理的主要作用是理论分析和证明， 例如利用导数为确定函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等重要函数状态提供了重要的理论依据可以把握函数图像的各种几何特征拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心有很多普及，这些普及有一个基本特征，就是在定理条件中扩大微小性的概念，推进微分中值的表达式。 此外，拉格朗日中值定理对理论和应用也具有极其重要的意义。 该定理的描述简单明确，具有明确的几何意义，一般问题很少，但很难深刻认识定理的内容，特别是中值的意义。换言之，微分学中值定理是微分值和函数值的桥梁，是利用微分值的局部性质来估计函数的整体性质的工具，而著名的拉格朗日中值定理，作为其中之一，是应用数学研究函数的区间整体状态的有力工具，可以深入认识定理的内容，熟练掌握定理的本质现在，参考以下几个例子探讨拉格朗日中值定理，深入理解定理，熟练地把握，发挥正确应用的作用。2 .拉格朗日中值定理定理2.1 (拉格朗日中央值定理)函数满足以下条件(I )在闭区间连续(ii )可在开区间内引导因为其中至少有一点存在.3 .拉格朗日中值定理的推进命题3.1只要函数能在开区间内导出，函数的极限至少存在一点.证明书呢指令函数在闭区间函数连续，在开区间导出函数.根据拉格朗日中值定理，至少存在点又来了，所以.命题3.2如果能包含函数导出，函数的界限和全部至少存在一点在证明指令中，可以在起始区间中导出复合函数，复合函数的导数可以是整数倍。用已知函数限制，户，一切都存在根据命题3.1，因为至少存在点，令，如果是那样的话然后.至少还存在一点命题3.3如果函数可以在开区间内导出，且函数的极限和全部存在，则至少存在一个点.证明指令和复合函数可以在开区间内导出，其导数为用已知函数限制，户，一切都存在根据命题3.1，至少要命令的时候所以至少有一点命题3.4函数打开区间后证明命令，还有复合函数可以在开区间内引导，其导数为用已知函数限制，户，一切都存在根据命题3.1，因为至少存在点命令的时候所以至少有一点显然，有以下推论：如果强调上述命题第二个条件存在相关联的函数界限且相等，则至少一个属于上述各区间于是我们得到了推进的罗尔中值定理。 推进的罗尔中值定理可知，在明确的几何意义：符合定理的条件下，曲线在点上具有水平切线4 .拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用很广泛，可以用于计算、证明、估计、判定等，应用中灵活性很大，以下从求极限、证明不等式、判别级数收敛性等方面进一步研究拉格朗日中值定理的应用。4.1利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理中最重要的是通过寻找函数及其对应的区间，公式能变形为：其左端有特征，正好是区间的增量与区间长度之比。 因此，在公式发生变形之后，能够确定与函数对应的区间例1 .求极限。解函数采用拉格朗日中值定理在和之间故.如果连续，则有公式，(1)试求解对函数采用拉格朗日中值定理，代入式(1)时. (2)以泰勒公式展开，(3)在(2)(3)中得到，故.例3 .求极限。解令对变量应用拉格朗日中值定理，得到(在此期间)故.4.2利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理存在的形式不是不等式的形式。 在拉格朗日中值公式中如何证明不等式？拉格朗日中值公式中，具体是多少还不知道，但是可以根据其间的取值推算出取值的范围。 或者，通过估计取值的上下边界，将拉格朗日中央值式中的值置换为取值的上下边界，可以得到不等式。 这是用拉格朗日中位数公式证明不等式的思想。例4 .证明当时证明，显然为了在区间上满足拉格朗日中值定理的条件. (1)又来了，因此，(1)式是，原则，也就是说.例5 .如果函数在上面是连续的，那么具有和可能的二次连续导数证明从问题上来说，如果分别满足上拉格朗日中值定理的条件，然后.然后故，满足拉格朗日中值定理也就是说.例6 .证明：当时证明令在以上满足拉格朗日中值定理的条件故存在，也就是说.又来了故.当时也就是说.所以当时不等式成立了4.3利用拉格朗日中值定理来证明常数式根据拉格朗日中值定理，函数在定义域内取2点(也可以设定)，如果是，常数为0，所以根据.的任意性，可知在定义域内函数值是一定的.如果推论函数在开区间内的导数是恒定的，则它是常数可以利用这个推论来证明某种倒三角常数公式的主题例7 .证明常数等有证明命令的时候是有意义的然后.所以，那时，(常数)还有，还有端点值也成立，根据推论有一定等4.4利用拉格朗日中值定理来证明方程式用拉格朗日中值定理证明方程式也是其应用中的重要项目，证明的目标是通过建立与拉格朗日中值定理相似形式的公式来寻找机会例8 .可引进且尝试实证由于以上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在证明命令，根据条件可得，另外，以上满足了拉格朗日中值定理条件故存在，综合上述两式就可以得到，也就是说.4.5利用拉格朗日中值定理研究函数区间的性质拉格朗日中值定理联系函数与其导数的关联，所以我们通常利用其导数研究导数的性质，就能知道函数在定义域区间内的整体认识。 例如，研究函数区间的符号、单调性、一贯性、凸性等，可以利用拉格朗日中值定理的结论，通过研究函数的局部性质掌握整体性质是数学研究的重要方法例9 .证明了如果函数贫穷或无限区间存在有界导数，则内在一致且连续证明当时，在被认为是端点的区间根据拉格朗日中值定理在这期间那么，那么是的，取，取，然后有。(在此期间)从一致连续定义可知，内一致连续4.6利用拉格朗日中值定理来证明评价问题证明评价问题一般用泰勒公式来证明很简单，特别是用二次和二次以上的导数来评价的情况，但是对于某个积分评价可以用拉格朗日中值定理来证明例10 .以上连续，并且尝试实证：证明，不等式明显成立不一定就是0，以及分别使用拉格朗日中值定理，有，因此，这里使用的是所以原来的不等式被证明了4.7利用拉格朗日中值定理判别级数的收敛性在级数收敛性的判别问题中，可以构建辅助函数，研究各区间的特征，最后相加简化，利用级数收敛性的判别规律进行判断例11 .证明调和级数的收敛性证明作为辅助函数，如果区间满足拉格朗日中值定理的条件，就有点，有故，.如果把不等式的两侧分别加起来的话.因为。，所以是.即调和级数是发散的例12 .如果正项级数发散，就证明级数收敛。如果把证明作为辅助函数，那时可以用拉格朗日中值定理，也就是说，所以，因为。.级数收敛了从比较原则可以看出，级数收敛4.8利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性证明方程根的存在性，给定的根范围是区间，把给定的方程作为函数，可以用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性(一般的反证法)。例13 .可以向上导出，而且，对于内的所有点都有证明式，有唯一的实根证明先证的存在性命令可以向上引导。故是.因此，从零点定理知道的至少有一个实根也就是说.再次证明唯一性如果方程式有两个实根的话运用拉格朗日中值定理.因此。.这与已知条件相矛盾4.9利用拉格朗日中值定理来证明函数的单调性例14 .包含证明的单调递增因为证明满足了拉格朗日中值定理的条件所以有.所以，有时会单调增加结语在高等数学中，拉格朗日中值定理的应用领域非常丰富，不仅内容广泛，而且方法多样，确实是一个需要认真学习和研究的领域。 本文在证明拉格朗日中值定理的普及后，从高等数学中常用的几个方面概述拉格朗日中值定理的应用，并相应地列举了一些例子，为了更好地理解拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用拉格朗日关于中值定理的应用的论述，不可避免地存在很多脆弱性和不足，希望老师批评一下。参考文献1华东师范大学数学系数学分析M .第三版.上卷.北京； 高等教育出版社. 2001