函数单调性讲义

XUEZIJIAOYU 中小学1对1课外辅导专家 学子教育学科教学案 课 题函数的单调性与最值问题教学目标1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；3. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；4. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点、难点重点：函数的单调性及其几何意义；函数的最大（小）值及其几何意义；难点：用定义判断函数在某区间上的单调性；运用函数图象理解和研究函数的性质.考点及考试要求考点一： 函数的单调性与最大（小）值（选择、填空、解答）教学内容知识框架一、函数的单调性的定义1.增减函数的定义：对于给定区间上的函数； 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数； 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数。2用定义证明函数的单调性的步骤是： 在相应区间内任取自变量； 比较与的大小：作差(作商)变形判断符号(与1的大小)； 根据定义下结论，注明区间。二、求函数的单调区间1函数的单调区间：如果函数在某个区间上是增函数(或减函数)，就说在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做的单调区间。2.复合函数单调性：复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律如下表：函数单调性增增减减增减增减增减减增说明：（1） 函数的单调性是函数的局部性质，是相对于区间而言的。 函数的定义域不一定是函数的单调区间，但函数的单调区间必是定义域的子区间。（2）复合函数的单调规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性则必为增函数；若具有不同的单调性则必为减函数。讨论复合函数单调性的步骤是： 求出复合函数的定义域； 把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。（3）当一个函数的增区间（或减区间）有多个时，不能并起来，只能用逗号隔开。三、应用函数的单调性比较大小1、若函数在区间上是增函数，且，则；2、若函数在区间上是增函数，且，则；3、若函数在区间上是减函数，且，则；4、若函数在区间上是减函数，且，则。考点一： 函数的单调性与最大（小）值典型例题题组一：利用定义证明函数的单调性1、判断函数在上的单调性并加以证明.2、求证函数在上是减函数，在上是增函数。3、函数在区间上是增函数，求的取值范围。题组二：基本初等函数单调性的应用1. （1）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .（2）已知函数的递减区间是，则实数的取值集合是 .2.若函数的图象关于轴对称，则它的单调递增区间为 ;3函数的递减区间是_4.求的单调区间5.已知，在上是单调函数，求的范围6.求复合函数的单调区间：的递增区间是 。7.已知函数,对于任意实数都有,比较的大小。8.函数的值域为 题组三：抽象函数的有关问题1. 是定义在（0，+）上的增函数，则不等式的解集_2. 函数的增区间是，则的递增区间是（ ）A、 B、 C、 D、 3.已知函数在区间上是减函数，那么与的大小关系 为 。5. 已知函数，若，则实数的取值范围是 。6已知函数在上是增函数，若，则（ ）A BC D7.设都是函数的单调增区间，且，则与的大小关系是（ ）A、 B、 C、 D、不能确定8.设是定义在上的增函数，且，求满足不等式 的的取值范围.9.设定义域为（0，+），且在（0，+）上是增函数，.（1）求证： （2）若,解不等式：10.函数对任意的,都有,并且当时，.（1）求证：是上的增函数；（2）若,解不等式.11.定义在上的函数满足：当时，对于任意实数,都有。（1）当时，求证；（2）求证：是上的减函数；（3）解不等式：知识概括、方法总结与易错点分析知识点：函数的单调性方法总结：图像法易错点：函数的单调性的应用针对性练习1函数 的增区间是（ ）。A B C D 2 在 上是减函数，则a的取值范围是（ ）。A B C D 3当 时，函数 的值有正也有负，则实数a的取值范围是（ ）A B C D 4.若函数在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数 在区间（a，c）上（ ）（A）必是增函数（B）必是减函数（C）是增函数或是减函数（D）无法确定增减性5.已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是 ()A(0,3) B(1,3)C(0， D(，3)6函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是（ ）A(3，8) B(7，2) C(2，3) D(0，5)7已知定义域为的函数f(x)在区间上单调递减，对任意实数t，都有，那么下列式子一定成立的是 （ ）Af(1)f(9)f(13) Bf(13)f(9)f(1) Cf(9)f(1)f(13) Df(13)f(1)f(9)8已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： （ 为常数）是_； （ 为常数）是_； 是_； 是_9.函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a