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第一章复数与复变函数,一.复数的定义,代数运算,几何表示,二.复变函数的定义，简单性质,第一节复数及其代数运算,本节给出复数的概念，它的几何表示，以及相应的运算。,1.复数的概念,例:,错误的!,两个复数相等,它们的实部和虚部对应相等,(imaginarypart),(realpart),为何讨论复数？,求解二次方程,解的表达式,这正是卡丹诺所考虑的负数的平方根。,但卡丹诺当时摒弃了这种解，说它是“没有用处的”。,并不是卡丹诺缺少继续追究这件事所需的想象力，而是他很有理由不去这样做。,可以看成是求抛物线与直线的交点。,在的情况下，问题确实有解；,从代数上说，,在的情况下，问题显然没有解；,从代数上说，,解式中出现了“不可能”的数正确地宣示了解的不存在。,二次方程,并不是二次方程迫使我们严肃地考虑复数。而是三次方程,迫使人们这样做。,卡丹诺在大术一书中，给出了解的表达式,这个方程代表求一个三次曲线与直线的交点。,在这个公式出现大约30年后，庞贝利发现它有一些奇怪的悖论式的地方。,所以，我们就有必要去考虑复数（或者复数的相关运算）!,例：,解为,但此时，三次曲线与直线是相交的！,交点：,（1）点表示,一一对应,一一对应,一一对应,2.复数在平面上的几何表示,复数的模:,性质:,复数的辐角:,(argument:辐角,变元),辐角主值:,注:,2,-2,例:,O,-1,1,O,例:,解:,三角表示式:,指数表示式:,3.复数的运算,设,定义运算如下:,加法:,减法:,乘法:,除法:,共轭运算:,性质:,(2),(3),设,求,解:,预备知识：,复数的乘幂,两个复数的乘法:,结论：,注:等式(2)的理解所表示的辐角的全体或辐角的集合相同，即左端集合中的一个元素总可在右端集合中找到，反之亦成立。,复数乘积的指数形式：,运算规则与实数完全一致！,逆时针方向旋转角度,-向量的旋转，伸缩,例1:已知正三角形的两个顶点为,求它的另一个顶点.,解:,可通过将向量逆时针旋转角度，伸长到1倍得到。,类似地，,类似地,可分析两个复数的除法运算:,结论：,注:,两个复数乘法的特殊情况：,棣莫弗公式的应用？,解:,复数的方根(乘幂的逆运算),注:,结论：,解:,因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,解:,移项,得,因为,所以,4.复球面及无穷大,对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系.,N点对应的点可代表无穷远点,记作.,这样的球面称作复球面.,扩充复平面-复平面引进一个“理想点”:无穷远点.,约定:,无穷远点:无限远离原点的所有点,注：区别于实数域中的正无穷，负无穷。,小结,2.熟练掌握:复数的几种代数表达形式间的相互转化.,3.熟练掌握:计算复数的模,辐角,辐角主值.,4.理解：无穷远点(与实数情形的区别).,1.熟练掌握：复数之间的简单运算：加，减，乘，除;共轭运
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